СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514921

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a1, a2, ..., a10 — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число ak записано на карточке с номером k).

Аналогично, b1, b2, ..., b10 — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:

а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа ak нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.

б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть нечётно для любого

Следовательно, для каждого k в паре (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.

Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.

в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, для некоторого m и для всех остальных k.

Числа am и bm оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если am и bm чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если am и bm нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.

Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку:

Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:

Затем на тех же карточках оказались числа:

Получаем:

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4.

 

 

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.


Аналоги к заданию № 500017: 514921 500452 500472 500966 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках, Числовые наборы на карточках и досках