На доске написаны цифры 111111222222 (шесть 1 и шесть 2). Марина составила из этих двенадцати цифр 5 попарно различных натуральных чисел, каждое из которых не кратно 3.
а) Может ли среди составленных Мариной чисел быть ровно два четырехзначных?
б) Может ли быть среди составленных Мариной чисел быть хотя бы одно шестизначное?
в) Пусть K — наибольшее из составленных Мариной чисел. Найдите наибольшее значение, которое может принимать K.
а) Да,
б) Нет. Если бы среди составленных Мариной чисел быть хотя бы одно шестизначное, то из остальных шести цифр были бы составлены 4 числа. Существуют только два однозначных и два двузначных подходящих числа — это 1, 2, 11 и 22. Тогда шестизначное состоит из трех единиц и трех двоек, а потому кратно трем, поскольку сумма цифр равна 9.
в) Из пункта б) видно, что шестизначных чисел и чисел из большего количества цифр нет. Самое большое пятизначное число из единиц и двоек — это 22 222, но тогда не менее трех чисел состоят из одних единиц, поскольку осталась всего одна двойка, значит, это как минимум 1, 11 и 1111, что невозможно, ведь потребуется семь единиц. Числа 22 221 и 22 212 кратны трем. Для числа 22 211 можно подобрать
Ответ: а) да; б) нет; в) 22 211.