а)  За­ме­тим, что каж­дое число на доске будет де­лить­ся на 7. Дей­стви­тель­но, ис­ход­ное число де­лит­ся на 7, в слу­чае удво­е­ния числа де­ля­ще­го­ся на 7, по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. А при сло­же­нии чисел, де­ля­щих­ся на 7, также по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. Таким об­ра­зом, все числа на доске будут де­лить­ся на 7, а 2012 на 7 не де­лит­ся, сле­до­ва­тель­но, оно не может по­явить­ся на доске.

б)  Да, может. При­мер: 7, 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7). Сумма по­лу­чен­ных 5 чисел равна 63.

За­ме­ча­ние. В усло­вии не ска­за­но, что одно число нель­зя удва­и­вать не­сколь­ко раз.

в)  Как было за­ме­че­но в пунк­те а), все числа на доске будут де­лить­ся на 7. Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу, раз­де­лив ис­ход­ное число 7 и то число, ко­то­рое нужно по­лу­чить, то есть 784, на 7. От этого ко­ли­че­ство опе­ра­ций не из­ме­нит­ся. Таким об­ра­зом, до­ста­точ­но за наи­мень­шее ко­ли­че­ство опе­ра­ций по­лу­чить число 112, начав с числа 1.

За­ме­тим, что наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж­дый раз будет удва­и­вать те­ку­щее наи­боль­шее число). Сле­до­ва­тель­но, если в пер­вые 6 минут Вася каж­дый раз удва­и­вал наи­боль­шее число на доске, то число 112 нель­зя по­лу­чить за 7 минут: если число 64 удво­ить, то по­лу­чит­ся 128, а если при­ба­вить к нему число, не пре­вос­хо­дя­щее 32, то 112 не по­лу­чит­ся.

В том слу­чае, если в те­че­ние пер­вых 6 минут Вася ис­поль­зо­вал хотя бы одно сло­же­ние вме­сто удво­е­ния, то при пер­вом ис­поль­зо­ва­нии сло­же­ния наи­боль­шее число, за­пи­сан­ное на доске уве­ли­чи­лось не более, чем в пол­то­ра раза: дей­стви­тель­но, в этом слу­чае самый боль­шой ре­зуль­тат по­лу­чит­ся тогда, когда мы к мак­си­маль­но­му на дан­ный мо­мент числу при­ба­вим вто­рое по ве­ли­чи­не, то есть, его по­ло­ви­ну (на­пом­ним, что мы рас­смат­ри­ва­ем пер­вый слу­чай сло­же­ния, то есть до этого были толь­ко удво­е­ния). Таким об­ра­зом, даже если в те­че­ние пер­вых 7 минут сде­ла­но 6 удво­е­ний и одно сло­же­ние (в не­ко­то­ром по­ряд­ке), то наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, равно 96, что мень­ше 112.

Итак, за 7 минут число 112 по­лу­чить не­воз­мож­но.

При­ве­дем при­мер, как его по­лу­чить за 8 минут:

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  8 минут.