а)  Пусть на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел, тогда по­след­нее число можно найти по фор­му­ле:

Тогда сумма всех зе­ле­ных чисел со­ста­вит 1395.

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 27 на крас­ное число 24, тогда сумма чисел на­пи­сан­ных на доске будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа.

б)  Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, при­ведённая в пунк­те а), ми­ни­маль­на, по­сколь­ку ми­ни­маль­но зна­че­ние (при боль­ших зна­че­ни­ях сумма будет воз­рас­тать). Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из ми­ни­маль­но воз­мож­ной суммы 30 зелёных чисел самое боль­шое  — по­след­нее число, рав­ное 90:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим к ми­ни­маль­но воз­мож­ной сумме 29 зелёных чисел ми­ни­маль­но воз­мож­ное крас­ное число, то есть число 8:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел а это озна­ча­ет, что, если на доске на­пи­са­но толь­ко 1 крас­ное число, то сумма чисел не может быть равна 1066.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Суммы крас­ных и зелёных чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут со­став­лять:

и

Сумма всех чисел S_o долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1066, тогда

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 7 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким об­ра­зом, сумма за­пи­сан­ных на доске чисел со­ста­вит:

Те­перь за­ме­ним еще 66 на 64, по­лу­чим:

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел равно 7.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  7.