Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 541384

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за эти дни?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например в первый день выписано 20 единиц, а в каждый следующий день выписывают на две единицы меньше, зато добавляют тройку. Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма — на 1 больше, чем в предыдущий.

б) Да. Если в первый день выписали одну двойку и 10 троек (среднее 32/11), во второй день 6 четверок и 4 пятерки (среднее 4,4), а в третий день 9 пятерок (среднее 5), то все условия выполнены, причем среднее первого дня меньше 3, а среднее за все дни  дробь: числитель: 32 плюс 44 плюс 45, знаменатель: 11 плюс 10 плюс 9 конец дроби = дробь: числитель: 121, знаменатель: 30 конец дроби больше 4.

в) Ясно, что в первый день записано не более 6 чисел. Тогда:

− во второй день не более пяти чисел с суммой не менее 7;

− в третий день не более четырех чисел с суммой не менее 8;

− в четвертый день не более трех чисел с суммой не менее 9;

− в пятый день не более двух чисел с суммой не менее 10.

Уже это возможно единственным образом — две пятерки. Значит, если в пятый день что-то вообще писали, то общая сумма составит 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 10=40. Если числа писали лишь четыре дня, то в четвертый день было не более трех чисел, а их сумма была не более 15, поэтому общая сумма не превосходит 6 плюс 13 плюс 14 плюс 15=48. Если числа писали лишь три дня, то в третий день было не более четырех чисел, а их сумма была не более 20, поэтому общая сумма не превосходит 6 плюс 19 плюс 20=45. Если числа писали лишь два дня, то во второй день было не более пяти чисел, а их сумма была не более 25, поэтому общая сумма не превосходит 6 плюс 25=31. Итак, ответ точно не больше 48.

Осталось привести соответствующий пример:

− первый день: 1, 1, 1, 1, 1, 1.

− второй день: 2, 2, 3, 3, 3.

− третий день: 3, 3, 4, 4.

− четвертый день: 5, 5, 5.

 

Ответ: а) да, б) да, в) 48.

 

Примечание.

Рекомендуем сравнить это задание с заданиями 526541 и 526345 из основной волны ЕГЭ 2019 года.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 541384: 541828 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1
Методы алгебры: Перебор случаев