На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Назовём результатом число, написанное на доске после 9 ходов.
а) Если на доске написаны числа
0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01,
то при любой последовательности ходов результат равен 5 и равен сумме чисел.
б) Заметим, что за каждый ход вновь написанное число отличается от суммы стёртых не более чем на 0,5. Значит, результат будет отличаться от суммы исходных чисел не более чем на 4,5. Значит, не существует 10 чисел таких, что результат отличается от их суммы на 7.
в) Можем считать, что все числа меньше 1 и не меньше 0, поскольку целые части каждого из чисел при сложении не влияют на разницу между их суммой и её округлённым значением.
Каждое изначальное число участвует ровно в одном ходе. Если в этом ходе также участвовало целое число, не написанное на доске изначально, то назовём вкладом изначально числа в результат разность записанного после хода числа и стёртого целого числа. Если оба числа, участвовавших в ходе, были написаны на доске изначально, то назовём вкладом каждого из них в результат половину записанного после хода числа.
Заметим, что результат равен сумме вкладов изначальных чисел. С другой стороны, вклад каждого числа, меньшего 0,5, равен 0 или 0,5, а вклад каждого числа, не меньшего 0,5, равен 0,5 или 1.
Пусть n — количество чисел, не меньших 0,5.
Тогда сумма вкладов будет не меньше 
и не больше 
То есть наибольшая разность двух различных результатов не превосходит 5.
Рассмотрим 10 чисел: два числа 0,5 и восемь чисел 0,4. Если вначале сложить два числа 0,5, а затем делать ходы с полученной единицей и числом 0,4, то результат будет равен 1. Если сделать четыре хода, попарно сложив числа 0,4, затем сложить четыре полученные единицы, а потом делать ходы с полученным числом и числом 0,5, то результат будет равен 6.
Таким образом, наибольшая возможная разность двух различных результатов равна 5.
Ответ: а) например, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая последовательность ходов; б) нет; в) 5.