а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре SNEG точки K и L  — се­ре­ди­ны ребер NE и SG со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KL и пе­ре­се­ка­ет ребро EG в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KL пер­пен­ди­ку­ляр­на реб­рам NE и SG.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α, если из­вест­но, что EP  =  ⁠1, PG  =  ⁠5.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­ны точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В но­яб­ре 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 420 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по ок­тябрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в но­яб­ре 2026, 2027 и 2028 годов долг оста­ет­ся рав­ным 420 тыс. руб.;

—  вы­пла­ты в 2029 и 2030 годах равны;

—  к но­яб­рю 2030 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму пла­те­жей за пять лет.

21 июня пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 840 тыс. руб. на 10 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1 числа каж­до­го ме­ся­ца (на­чи­ная с июля) долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 20-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  21-⁠го числа с 1-⁠го по 9-⁠й месяц долг дол­жен быть мень­ше на одну и ту же сумму по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  21-го числа 9-⁠го ме­ся­ца долг со­ста­вит 120 тыс. руб.;

—  21-⁠го числа 10-⁠го ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен.

Най­ди­те пе­ре­пла­ту по кре­ди­ту (в тыс. руб.) за весь срок.

Точка К лежит на от­рез­ке MN. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку M, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром КN в точке A и пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром МК в точ­ках М и В. Про­дол­же­ние от­рез­ка АК пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром МК в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CM и AN па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKN, если BM  =  6 и AB  =  30.

На сто­ро­не LM рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка KLM вы­бра­на точка S, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку KS пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KМ в точке Q, а сто­ро­ну KL  — в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что углы LSP и SQM равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков LSP и SQM, если SM : SL  =  2 : 3.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет два раз­лич­ных корня.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ный ко­рень на от­рез­ке [0; 8].

Сне­го­вик на­пи­сал ряд на­ту­раль­ных чисел от 1 до 2025. Затем он за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. Затем по­вто­рил опе­ра­цию: за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. И так далее до тех пор, пока не оста­нет­ся ровно два числа.

а)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 253 числа?

б)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 64 числа?

в)  Чему равна сумма по­след­них двух не­за­черк­ну­тых чисел?

Мороз Ива­но­вич на­пи­сал на доске не­сколь­ко (более од­но­го) по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем любые два из них от­ли­ча­ют­ся не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 6 чисел, сумма ко­то­рых равна 71?

6)  Может ли на доске быть 9 чисел, сумма ко­то­рых равна 71?

в)  Сколь­ко может быть чисел на доске, если их про­из­ве­де­ние равно 7000?