Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630714

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число).

а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?

б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Пусть, например, было написано 50 чисел с суммой 10 016 (например числа от 1 до 49 и последнее число, которое обеспечит нужную сумму), тогда среднее арифметическое будет 200,32.

б) Нет. Если их среднее арифметическое равно x плюс 0,32, где x целое, то их сумма равна nx плюс 0,32n, где n — количество чисел. При этом xn целое, а 0,32n= дробь: числитель: 8n, знаменатель: 25 конец дроби  — нецелое, поскольку 8n не кратно 25 при n меньше 25.

в) Из решения пункта б) следует, что чисел не менее 25. Пусть n — количество чисел, тогда их сумма не меньше чем

1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,

поэтому их среднее арифметическое не меньше

 дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2n конец дроби = дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 25 плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби =13.

 

Значит, минимально значение среднего арифметического не менее 13,32.

Для получения такого среднего нужны 25 чисел с суммой 25 умножить на 13,32=333. На роль таких чисел подходят, например, 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 24 плюс 33.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 13,32.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Вариант 992, Задания 18 ЕГЭ–2022