На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., an, для которых при каждом натуральном числе k = 2, ..., n − 1 выполнено равенство 
а) Можно ли при n = 4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a4 = 2021?
б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось неравенство |a2 − a1| < 2021?
в) При n = 10 на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может принимать a10?
а) Пусть такие числа написаны. Поскольку по условию выполнены равенства 
и 
получаем 
Например, при a1 = 2024 и a2 = 2020 получаем a3 = 2022 и a4 = 2021.
б) Пусть такие числа написаны. Поскольку при каждом натуральном числе k = 2, ..., 99 по условию выполнено равенство 
при всех таких k получаем
Тогда
получаем противоречие.
в) Пусть такие числа написаны. Аналогично доказанному в п. б при k = 2, 3, ..., 9 получаем
Поэтому 
и целое ненулевое число a2 − a1 делится на 28 = 256. Если a2 − a1 > 0, то
Если a2 − a1 < 0, то
Пусть a1 = 257, a2 = 1 и 
при всех k = 2, 3, ..., 9. По доказанному при всех таких k числа
целые, а числа
натуральные. Поскольку при этом
получаем, что наименьшее значение, которое может принимать a10, действительно равно 86.
Ответ: а) да; б) нет; в) 86.