а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны бо­ко­вые рёбра: Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­на ме­ди­а­ны CM тре­уголь­ни­ка ABC. Эта вы­со­та равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC = 20 и BC = 15.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 9 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 3,6 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры пяти за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 91.