В тре­уголь­ни­ке ABC AD  — бис­сек­три­са, угол C равен угол CAD равен Най­ди­те угол B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 12. Най­ди­те пло­щадь боль­шо­го круга шара.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 24 из США, 13 из Мек­си­ки, осталь­ные  — из Ка­на­ды. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Ка­на­ды.

Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из­го­тов­лен­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Ско­рость (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 90 км/ч.

Бай­дар­ка в 10:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от А. Про­быв в пунк­те В 1 час 20 минут, бай­дар­ка от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 16:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/ч) соб­ствен­ную ско­рость бай­дар­ки, если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки 2 км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD через ребро AB про­ве­ли плос­кость α, об­ра­зу­ю­щую се­че­ние ABMN, где M и N  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с бо­ко­вы­ми рёбрами SC и SD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точки M и N делят ребра SC и SD в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD и плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 мил­ли­о­нов руб­лей на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2029 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­ви­ла 7830 тысяч руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке ABC угол ACB равен 30°, от­рез­ки AH и AM  — вы­со­та и ме­ди­а­на со­от­вет­ствен­но, при­чем точка H лежит на от­рез­ке BM. От­ре­зок MQ  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AMC, а пря­мые AH и MQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла CAH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMF, если AB  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том дру­го­го, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 567?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число n и его квад­рат n². Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.