На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).
а) Может ли быть верным равенство A = B + C, если A < 150?
б) Может ли быть верным равенство A = B + C, если числа B и C делятся на 3?
в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A = B + C.
а) Да, например 
б) Сразу заметим, что
поэтому A начинается с цифры 1. Далее, если B и C кратны 3, то и их сумма A кратна 3. Делимость на 3 определяется суммой цифр числа (она должна быть кратна трем), поэтому убирать из A единицу нельзя (от этого остаток от деления на 3 изменится). Значит, и B и C содержат в записи единицу. Тогда вторая их цифра должна быть 2, 5 или 8. Если в числе A были бы две такие цифры, то их сумма с единицей давала бы остаток 2 от деления на 3. Значит, там одна такая цифра, а B и C состоят из одних и тех же двух цифр, одна из которых единица. Осталось разобрать варианты:
— не трехзначные:
— не содержат нужных цифр: 
и 
в) Заметим, что 
Докажем, что это наилучший пример. Если хоть одно из чисел B и C меньше 90, то
поэтому такие примеры рассматривать не нужно.
Если же они оба начинаются с девятки, то 
и 
где b и c — цифры. Поскольку 
его последняя цифра равна 
Ясно, что это не 9, поскольку
не b и не c (если например 
то c = 10). Значит, эта цифра в числах B и C не используется. Поэтому 
что тоже невозможно, так как 
Ответ: а) да; б) нет; в) 189.