Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 38, сред­няя линия равна 11. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ци­лин­дра равен 162. Най­ди­те объём ко­ну­са.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 17 из Рос­сии, 22 из США, осталь­ные  — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в первую ми­шень и не попадёт в три по­след­ние.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны шесть точек x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки ис­поль­зу­ет­ся линза с фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем f, рав­ным 20 см. Рас­сто­я­ние d₁ от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 20 до 50 см, а рас­сто­я­ние d₂ от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 100 до 120 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чётким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии d₁ (в см) от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы её изоб­ра­же­ние на экра­не было чётким.

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 6 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 112 лит­ров она за­пол­ня­ет на 6 минут быст­рее, чем пер­вая труба?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [34; 42].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пря­мая приз­ма ABCA₁B₁C₁. ABC  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AB. На AB от­ме­че­на точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит по­по­лам ребро B₁C₁. Точка M делит по­по­лам ребро BC. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная PQ.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь с 2024 по 2028 год долг воз­рас­та­ет на 18% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь с 2029 по 2033 год долг воз­рас­та­ет на 16% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2033 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту долж­на со­ста­вить 1470 тысяч руб­лей?

Дан ромб ABCD. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AD, пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль AC в точке M, диа­го­наль BD  — в точке N, при­чем AM : MC  =  1 : 2, BN : ND  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь ромба, если MN  =  5.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых

си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 2 ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но трёхзнач­ное число A. Серёжа зачёрки­ва­ет одну цифру и по­лу­ча­ет дву­знач­ное число B, затем Коля за­пи­сы­ва­ет число A и за­чер­ки­ва­ет одну цифру (воз­мож­но ту же, что Серёжа) и по­лу­ча­ет число C.

а)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

б)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A до 900 для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся