В трёх вер­ши­нах квад­ра­та на­хо­дят­ся три куз­не­чи­ка. Они иг­ра­ют в че­хар­ду, т. е. пры­га­ют друг через друга. При этом, если куз­не­чик A пры­га­ет через куз­не­чи­ка B, то после прыж­ка он ока­зы­ва­ет­ся от B на том же рас­сто­я­нии, что и до прыж­ка, и, есте­ствен­но, на той же пря­мой. Может ли один из них по­пасть в четвёртую вер­ши­ну квад­ра­та?

В бо­та­ни­че­ском спра­воч­ни­ке каж­дое рас­те­ние ха­рак­те­ри­зу­ет­ся 100 при­зна­ка­ми (каж­дый при­знак либо при­сут­ству­ет, либо от­сут­ству­ет). Рас­те­ния счи­та­ют­ся "не­по­хо­жи­ми", если они раз­ли­ча­ют­ся не менее, чем по 51 при­зна­ку.

а)  По­ка­жи­те, что в спра­воч­ни­ке не может на­хо­дить­ся боль­ше 50 по­пар­но не­по­хо­жих рас­те­ний.

б)  А может ли быть 50?

n школь­ни­ков хотят раз­де­лить по­ров­ну m оди­на­ко­вых шо­ко­ла­док, при этом

каж­дую шо­ко­лад­ку можно раз­ло­мить не более од­но­го раза.

а)  При каких n это воз­мож­но, если

б)  При каких n и m это воз­мож­но?

Даны N синих и N крас­ных па­ло­чек, при­чем сумма длин синих па­ло­чек равна сумме длин крас­ных. Из­вест­но, что из синих па­ло­чек можно сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных  — тоже. Все­гда ли можно вы­брать одну синюю и одну крас­ную па­лоч­ки и пе­ре­кра­сить их (синюю  — в крас­ный цвет, а крас­ную  — в синий) так, что снова из синих па­ло­чек можно будет сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных  — тоже?

Ре­ши­те за­да­чу

а)  для N = 3;

б)  для про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го N > 3.

а)  Ску­пой ры­царь хра­нит зо­ло­тые мо­не­ты в шести сун­ду­ках. Од­на­ж­ды, пе­ре­счи­ты­вая их, он за­ме­тил, что если от­крыть любые два сун­ду­ка, то можно раз­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты по­ров­ну в эти два сун­ду­ка. Еще он за­ме­тил, что если от­крыть любые 3, 4 или 5 сун­ду­ков, то тоже можно пе­ре­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты таким об­ра­зом, что во всех от­кры­тых сун­ду­ках ста­нет по­ров­ну монет. Тут ему по­чу­дил­ся стук в дверь, и ста­рый скря­га так и не узнал, можно ли раз­ло­жить все мо­не­ты по­ров­ну по всем шести сун­ду­кам. Можно ли, не за­гля­ды­вая в за­вет­ные сун­ду­ки, дать точ­ный ответ на этот во­прос?

б)  А если сун­ду­ков было во­семь, а cкупой ры­царь мог раз­ло­жить по­ров­ну мо­не­ты, ле­жа­щие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сун­ду­ках?

За круг­лым сто­лом сидят 4 гнома. Перед каж­дым стоит круж­ка с мо­ло­ком. Один из гно­мов пе­ре­ли­ва­ет ¼ сво­е­го мо­ло­ка со­се­ду спра­ва. Затем сосед спра­ва де­ла­ет то же самое. Затем то же самое де­ла­ет сле­ду­ю­щий сосед спра­ва и на­ко­нец четвёртый гном ¼ ока­зав­ше­го­ся у него мо­ло­ка на­ли­ва­ет пер­во­му. Во всех круж­ках вме­сте мо­ло­ка 2 л.

Сколь­ко мо­ло­ка было пер­во­на­чаль­но в круж­ках, если

а)  в конце у всех гно­мов мо­ло­ка ока­за­лось по­ров­ну?

б)  в конце у всех гно­мов ока­за­лось мо­ло­ка столь­ко, сколь­ко было в на­ча­ле?

Петин счет в банке со­дер­жит 500 дол­ла­ров. Банк раз­ре­ша­ет со­вер­шать опе­ра­ции толь­ко двух видов: сни­мать 300 дол­ла­ров или до­бав­лять 198 дол­ла­ров.

а)  Какую мак­си­маль­ную сумму Петя может снять со счета, если дру­гих денег у него нет?

б)  Какое наи­мень­шее число опе­ра­ций для этого по­тре­бу­ет­ся?

Име­ет­ся семь ста­ка­нов с водой: пер­вый ста­кан за­пол­нен водой на­по­ло­ви­ну, вто­рой  — на треть, тре­тий  — на чет­верть, чет­вер­тый  — на одну пятую, пятый  — на одну вось­мую, ше­стой  — на одну де­вя­тую, и седь­мой  — на одну де­ся­тую. Раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­ли­вать всю воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой или пе­ре­ли­вать воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой до тех пор, пока он не за­пол­нит­ся до­вер­ху. Может ли после не­сколь­ких пе­ре­ли­ва­ний какой‐ни­будь ста­кан ока­зать­ся за­пол­нен­ным

а)  на одну две­на­дца­тую;

б)  на одну ше­стую?

Ком­пью­тер может про­из­во­дить одну опе­ра­цию: брать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, при­чем m и n не имеют общих де­ли­те­лей и m < n До­ка­жи­те, что с по­мо­щью ком­пью­те­ра из них можно по­лу­чить

а)  еди­ни­цу;

б)  любое целое число от 1 до n.

В Мек­си­ке эко­ло­ги до­би­лись при­ня­тия за­ко­на, по ко­то­ро­му каж­дый ав­то­мо­биль хотя бы один день в не­де­лю не дол­жен ез­дить (вла­де­лец со­об­ща­ет по­ли­ции номер ав­то­мо­би­ля и «вы­ход­ной» день не­де­ли этого ав­то­мо­би­ля). В не­ко­то­рой семье все взрос­лые же­ла­ют ез­дить еже­днев­но (каж­дый  — по своим делам!). Сколь­ко ав­то­мо­би­лей (как ми­ни­мум) долж­но быть в семье, если взрос­лых в ней

а)  5 че­ло­век?

б)  8 че­ло­век?

Два шах­ма­ти­ста иг­ра­ют между собой в шах­ма­ты с ча­са­ми (сде­лав ход, шах­ма­тист оста­нав­ли­ва­ет свои часы и пус­ка­ет часы дру­го­го). Из­вест­но, что после того, как оба сде­ла­ли по 40 ходов, часы обоих шах­ма­ти­стов по­ка­зы­ва­ли одно и то же время: 2 часа 30 мин.

а)  До­ка­жи­те, что в ходе пар­тии был мо­мент, когда часы од­но­го об­го­ня­ли часы дру­го­го не менее, чем на 1 мин. 51 сек.

б)  Можно ли утвер­ждать, что в не­ко­то­рый мо­мент раз­ни­ца по­ка­за­ний часов была равна 2 мин.?

Луж­ков и Ба­ту­ри­на по­во­ра­чи­ва­ют с Руб­лев­ки на МКАД в раз­ные сто­ро­ны  — Луж­ков  — на­ле­во, Ба­ту­ри­на  — на­пра­во. За сколь­ко минут каж­дый из них про­ез­жа­ет пол­ный круг по МКАД, если из­вест­но, что Луж­ков тра­тит на 12 минут мень­ше Ба­ту­ри­ной, при этом про­ез­жая круг не быст­рее 31 ми­ну­ты. Время про­ез­да од­но­го круга из­ме­ря­ет­ся целым чис­лом минут и их седь­мая встре­ча про­изо­шла снова на Рублёвке.

Ин­спек­тор ДПС майор Ху­да­ков по­лу­чил ука­за­ние на­чаль­ства оста­нав­ли­вать те ав­то­мо­би­ли, трех­знач­ный гос­но­мер ко­то­рых n удо­вле­тво­ря­ет сле­ду­ю­щим тре­бо­ва­ни­ям: если вы­пи­сать все целые числа от 1 до n и по­счи­тать ко­ли­че­ство за­пи­сан­ных цифр, то по­лу­чит­ся число, за­пи­сан­ное теми же циф­ра­ми, что и n, но в об­рат­ном по­ряд­ке. Сна­ча­ла майор по­про­бо­вал вы­пол­нять тре­бу­е­мые вы­чис­ле­ния для каж­до­го ав­то­мо­би­ля в ре­жи­ме ре­аль­но­го вре­ме­ни мелом на ас­фаль­те, но мел скоро за­кон­чил­ся. По­мо­ги­те май­о­ру опре­де­лить но­ме­ра нуж­ных ав­то­мо­би­лей.

Гу­бер­на­тор Тить­кин решил ор­га­ни­зо­вать ав­то­бус­ное дви­же­ние между де­рев­ня­ми Верх­нее и Ниж­нее Га­дю­ки­но. Ав­то­бу­сы‐экс­прес­сы будут сле­до­вать из Ниж­не­го Га­дю­ки­но в Верх­нее без оста­но­вок круг­ло­су­точ­но с ин­тер­ва­лом ровно 7 минут, оста­нав­ли­вать­ся в ко­неч­ном пунк­те на какое‐то время и от­прав­лять­ся об­рат­но, тратя на до­ро­гу в одну сто­ро­ну ровно 25 минут. При этом на ко­неч­ных оста­нов­ках не долж­но на­хо­дить­ся более од­но­го ав­то­бу­са од­но­вре­мен­но. Сколь­ко ав­то­бу­сов по­тре­бу­ет­ся ку­пить гу­бер­на­то­ру?

В школь­ной олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке участ­во­ва­ло 100 че­ло­век, по фи­зи­ке  — 50 че­ло­век, по ин­фор­ма­ти­ке  — 48 че­ло­век. Когда каж­до­го из уче­ни­ков спро­си­ли, в сколь­ких олим­пи­а­дах он участ­во­вал, ответ «по край­ней мере в двух» дали в два раза мень­ше че­ло­век, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех»  — втрое мень­ше че­ло­век, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколь­ко всего уче­ни­ков при­ня­ло уча­стие в этих олим­пи­а­дах?

а)  На по­сто­я­лом дворе оста­но­вил­ся пу­те­ше­ствен­ник, и хо­зя­ин со­гла­сил­ся в ка­че­стве упла­ты за про­жи­ва­ние брать коль­ца зо­ло­той це­поч­ки, ко­то­рую тот носил на руке. Но при этом он по­ста­вил усло­вие, чтобы опла­та была еже­днев­ной: каж­дый день хо­зя­ин дол­жен был иметь на одно коль­цо боль­ше, чем в преды­ду­щий. За­мкну­тая в коль­цо це­поч­ка со­дер­жа­ла 11 колец, а пу­те­ше­ствен­ник со­би­рал­ся про­жить ровно 11 дней, по­это­му он со­гла­сил­ся. Какое наи­мень­шее число колец он дол­жен рас­пи­лить, чтобы иметь воз­мож­ность пла­тить хо­зя­и­ну?

б)  Из сколь­ких колец долж­на со­сто­ять це­поч­ка, чтобы пу­те­ше­ствен­ник мог про­жить на по­сто­я­лом дворе наи­боль­шее число дней при усло­вии, что он может рас­пи­лить толь­ко n колец?

Тре­бу­ет­ся сде­лать набор гирек, каж­дая из ко­то­рых весит целое число грам­мов, с по­мо­щью ко­то­рых можно взве­сить любой целый вес от 1 грам­ма до 55 грам­мов вклю­чи­тель­но даже в том слу­чае, если не­ко­то­рые гирь­ки по­те­ря­ны (гирь­ки кла­дут­ся на одну чашку весов, из­ме­ря­е­мый вес  — на дру­гую).

а)  не­об­хо­ди­мо по­до­брать 10 гирек, из ко­то­рых может быть по­те­ря­на любая одна;

б)  не­об­хо­ди­мо по­до­брать 12 гирек, из ко­то­рых могут быть по­те­ря­ны любые две. (В обоих слу­ча­ях до­ка­жи­те, что най­ден­ный Вами набор гирек об­ла­да­ет тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми.)

Ав­то­бус­ные би­ле­ты имеют но­ме­ра от 000000 до 999999. Билет на­зы­ва­ет­ся счаст­ли­вым, если сумма пер­вых трех цифр его но­ме­ра равна сумме по­след­них трех его цифр. До­ка­жи­те, что:

а)  число всех счаст­ли­вых би­ле­тов четно;

б)  сумма но­ме­ров всех счаст­ли­вых би­ле­тов де­лит­ся на 999.

Ска­жем, что ко­ло­да из 52 карт сло­же­на пра­виль­но, если любая пара ле­жа­щих рядом карт сов­па­да­ет по масти или по до­сто­ин­ству, то же верно для верх­ней и ниж­ней карты, и на­вер­ху лежит туз пик. До­ка­жи­те, что число спо­со­бов сло­жить ко­ло­ду пра­виль­но

а)  де­лит­ся на 12!;

б)  де­лит­ся на 13!.

Бан­ко­мат об­ме­ни­ва­ет мо­не­ты: дуб­ло­ны на пи­сто­ли и на­о­бо­рот. Пи­столь стоит s дуб­ло­нов, а дуб­лон  — 1/s пи­сто­лей, где s  — не обя­за­тель­но целое. В бан­ко­мат можно вбро­сить любое число монет од­но­го вида, после чего он вы­да­ет в обмен мо­не­ты дру­го­го вида, округ­ляя ре­зуль­тат до бли­жай­ше­го це­ло­го числа (если бли­жай­ших чисел два, вы­би­ра­ет­ся боль­шее).

а)  Может ли так быть, что об­ме­няв сколь­ко-то дуб­ло­нов на пи­сто­ли, а затем об­ме­няв по­лу­чен­ные пи­сто­ли на дуб­ло­ны, мы по­лу­чим боль­ше дуб­ло­нов, чем было в на­ча­ле?

б)  Если да, то может ли слу­чит­ся, что по­лу­чен­ное число дуб­ло­нов еще уве­ли­чит­ся, если про­де­лать с ними такую же опе­ра­цию?

Гео­ло­ги взяли в экс­пе­ди­цию 80 банок кон­сер­вов, веса ко­то­рых все из­вест­ны и раз­лич­ны (име­ет­ся спи­сок). Через не­ко­то­рое время над­пи­си на бан­ках стали не­чи­та­е­мы­ми, и толь­ко зав­хоз знает где что. Он может все это до­ка­зать (т. е. обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся), не вскры­вая кон­сер­вов и поль­зу­ясь толь­ко со­хра­нив­шим­ся спис­ком и двух­ча­шеч­ны­ми ве­са­ми со стрел­кой, по­ка­зы­ва­ю­щей раз­ни­цу весов на чаш­ках. До­ка­жи­те, что ему для этой цели

а)  до­ста­точ­но че­ты­рех взве­ши­ва­ний;

б)  не­до­ста­точ­но трех взве­ши­ва­ний.

Ком­мен­та­рий. От­ме­тим еще раз, что зав­хоз дол­жен обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся для всех 80 банок.

Среди любых де­ся­ти из ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков най­дет­ся три од­но­класс­ни­ка. Обя­за­тель­но ли среди всех ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков най­дет­ся

а)  15 од­но­класс­ни­ков;

б)  16 од­но­класс­ни­ков?

Трид­цать три бо­га­ты­ря на­ня­лись охра­нять Лу­ко­мо­рье за 240 монет. Хит­рый дядь­ка Чер­но­мор может раз­де­лить бо­га­ты­рей на от­ря­ды про­из­воль­ной чис­лен­но­сти (или за­пи­сать всех в один отряд), а затем рас­пре­де­лить все жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми. Каж­дый отряд делит свои мо­не­ты по­ров­ну, а оста­ток от­да­ет Чер­но­мо­ру. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может до­стать­ся Чер­но­мо­ру, если:

а)  жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет как ему угод­но;

б)  жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет по­ров­ну?

Че­ты­рех­знач­ное число А со­дер­жит в своей де­ся­тич­ной за­пи­си по­пар­но раз­лич­ные цифры, от­лич­ные от нуля. Число В за­пи­са­но теми же циф­ра­ми, но в об­рат­ном по­ряд­ке. Из­вест­но, что А > B.

а)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния А − В.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния А − В.

в)  Най­ди­те числа А и В, для ко­то­рых зна­че­ние вы­ра­же­ния будет наи­мень­шим.

В шах­мат­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ло 20 шах­ма­ти­стов, причём 6 из них  — из Рос­сии. Каж­дый шах­ма­тист сыг­рал по одной пар­тии с каж­дым. За по­бе­ду в пар­тии шах­ма­тист по­лу­чал 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, в слу­чае про­иг­ры­ша  — 0 очков.

а)  Могли ли все рос­сий­ские шах­ма­ти­сты на­брать в сумме ровно 14 очков?

б)  Могли ли все рос­сий­ские шах­ма­ти­сты на­брать в сумме ровно 100 очков?

в)  Из­вест­но, что пер­вое место занял шах­ма­тист из Рос­сии, а вто­рое место  — шах­ма­тист

из дру­гой стра­ны. Какое наи­боль­шее сум­мар­ное ко­ли­че­ство очков могли на­брать рос­сий­ские шах­ма­ти­сты?

Под­ко­вы­вая ло­шадь, куз­нец тра­тит на одну под­ко­ву 5 минут.

а)  Смо­гут ли два куз­не­ца за пол­ча­са под­ко­вать трёх ло­ша­дей?

б)  Смо­гут ли че­ты­ре куз­не­ца за 15 минут под­ко­вать трёх ло­ша­дей?

в)  За какое наи­мень­шее время 48 куз­не­цов смо­гут под­ко­вать 60 ло­ша­дей? (Из­вест­но, что ло­шадь не может сто­ять на двух ногах, по­это­му два куз­не­ца не могут од­но­вре­мен­но ра­бо­тать с одной ло­ша­дью).

Име­ют­ся ка­мен­ные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (рас­ка­лы­вать глыбы нель­зя).

а)  Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 60 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

б)  Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 38 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, по­на­до­бит­ся, чтобы вы­вез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

В роте два взво­да, в пер­вом взво­де сол­дат мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше чем 50, а вме­сте сол­дат мень­ше чем 120. Ко­ман­дир знает, что роту можно по­стро­ить по не­сколь­ко че­ло­век в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­дат, боль­шее 7, и при этом ни в каком ряду не будет сол­дат из двух раз­ных взво­дов.

а)  Сколь­ко сол­дат в пер­вом взво­де и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те хотя бы один при­мер.

б)  Можно ли по­стро­ить роту ука­зан­ным спо­со­бом по 11 сол­дат в одном ряду?

в)  Сколь­ко в роте может быть сол­дат?

а)  Име­ют­ся 300 яблок, любые два из ко­то­рых раз­ли­ча­ют­ся по весу не более, чем в два раза. До­ка­жи­те, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та раз­ли­ча­лись по весу не более, чем в пол­то­ра раза.

б)  Име­ют­ся 300 яблок, любые два из ко­то­рых раз­ли­ча­ют­ся по весу не более, чем в три раза. До­ка­жи­те, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по че­ты­ре яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та раз­ли­ча­лись по весу не более, чем в пол­то­ра раза.

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 со­став­ле­на обык­но­вен­ная дробь А, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ко­то­рой  — пя­ти­знач­ные числа (каж­дая цифра ис­поль­зо­ва­лась ровно один раз).

а)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать А?

б)  Может ли зна­че­ние А ока­зать­ся целым чис­лом?

в)  Най­ди­те такое А, чтобы зна­че­ние |A − 1| было наи­мень­шим.

У каж­до­го уча­ще­го­ся в клас­се дома живет кошка или со­ба­ка, а у не­ко­то­рых, воз­мож­но, живет и кошка, со­ба­ка. Из­вест­но, что маль­чи­ков, име­ю­щих собак, не более от об­ще­го числа уча­щих­ся, име­ю­щих собак, а маль­чи­ков, име­ю­щих кошек, не более от об­ще­го числа уча­щих­ся, име­ю­щих кошек.

а)  Может ли в клас­се быть 11 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в клас­се 21 уча­щий­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков может быть в клас­се, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в клас­се 21 уча­щий­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

В не­ко­то­ром цар­стве было не­сколь­ко (более двух) кня­жеств. Од­на­ж­ды не­ко­то­рые из этих кня­жеств объ­яви­ли себя цар­ства­ми и раз­де­ли­лись каж­дое на то же самое число кня­жеств, ко­то­рое было в самом на­ча­ле. Затем всё новые и новые кня­же­ства из числа преж­них и вновь об­ра­зу­ю­щих­ся объ­яв­ля­ли себя цар­ства­ми и де­ли­лись каж­дое на то же самое число кня­жеств, ко­то­рое было в самом на­ча­ле.

а)  Могло ли сразу после од­но­го из де­ле­ний общее число кня­жеств стать рав­ным 102?

б)  Могло ли в какой‐то мо­мент вре­ме­ни общее число кня­жеств стать рав­ным 320, если из­вест­но, что сразу после од­но­го из де­ле­ний общее число кня­жеств было равно 162?

в)  Сколь­ко кня­жеств было в самом на­ча­ле, если сразу после ка­ко­го‐то из де­ле­ний общее число кня­жеств стало ровно в 38 раз боль­ше пер­во­на­чаль­но­го?

На вол­шеб­ной яб­ло­не вы­рос­ли 15 ба­на­нов и 20 апель­си­нов. Од­но­вре­мен­но раз­ре­ша­ет­ся сры­вать один или два плода. Если со­рвать один из пло­дов вы­рас­тет такой же, если со­рвать сразу два оди­на­ко­вых плода  — вы­рас­тет апель­син, а если два раз­ных  — вы­рас­тет банан.

а)  В каком по­ряд­ке надо сры­вать плоды, чтобы на яб­ло­не остал­ся ровно один плод?

б)  Мо­же­те ли вы опре­де­лить, какой это будет плод?

в)  Можно ли сры­вать плоды так, чтобы на яб­ло­не ни­че­го не оста­лось?

В двух груп­пах учит­ся оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство сту­ден­тов. Каж­дый сту­дент изу­ча­ет по край­ней мере один язык: ан­глий­ский или фран­цуз­ский. Из­вест­но, что 5 че­ло­век в пер­вой и 5 во вто­рой груп­пе изу­ча­ют оба языка. Ко­ли­че­ство изу­ча­ю­щих фран­цуз­ский в пер­вой груп­пе в 3 раза мень­ше, чем во вто­рой. Ко­ли­че­ство изу­ча­ю­щих ан­глий­ский во вто­рой груп­пе в 4 раза мень­ше, чем в пер­вой.

а)  Может ли в каж­дой груп­пе быть 33 сту­ден­та?

б)  Может ли число сту­ден­тов, изу­ча­ю­щих толь­ко ан­глий­ский язык во вто­рой груп­пе быть равно 2?

в)  Ка­ко­во ми­ни­маль­но воз­мож­ное ко­ли­че­ство сту­ден­тов в каж­дой груп­пе?

16 уче­ни­ков пишут кон­троль­ную ра­бо­ту, со­став­лен­ную в не­сколь­ких ва­ри­ан­тах. Их ра­бо­чие места рас­по­ло­же­ны в виде квад­ра­та 4 × 4. Будем на­зы­вать пару уче­ни­ков «по­до­зри­тель­ной», если они сидят на со­сед­них (по вер­ти­ка­ли, го­ри­зон­та­ли или диа­го­на­ли) ме­стах и пишут один и тот же ва­ри­ант. (Уче­ник может вхо­дить в не­сколь­ко «по­до­зри­тель­ных» пар).

а)  Может ли не ока­зать­ся ни одной «по­до­зри­тель­ной» пары, если име­ет­ся 4 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты?

б)  Может ли не ока­зать­ся ни одной «по­до­зри­тель­ной» пары, если име­ет­ся 3 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство «по­до­зри­тель­ных» пар, если име­ет­ся 3 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты.

Ваня иг­ра­ет в игру. В на­ча­ле игры на доске на­пи­са­но два раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня дол­жен ре­шить квад­рат­ное урав­не­ние где p и q  — взя­тые в вы­бран­ном Ваней по­ряд­ке два числа, на­пи­сан­ные к на­ча­лу этого хода на доске, и, если это урав­не­ние имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня, за­ме­нить два числа на доске на эти корни. Если же это урав­не­ние не имеет двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных кор­ней, Ваня не может сде­лать ход и игра пре­кра­ща­ет­ся.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие два числа, на­чи­ная иг­рать с ко­то­ры­ми Ваня смо­жет сде­лать не менее двух ходов?

б)  Су­ще­ству­ют ли такие два числа, на­чи­ная иг­рать с ко­то­ры­ми Ваня смо­жет сде­лать де­сять ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов может сде­лать Ваня при этих усло­ви­ях?

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся мо­биль­ные те­ле­фо­ны, каж­дый из ко­то­рых стоит целое число тысяч руб­лей (боль­ше нуля, но менее 100 тыс.). Ма­га­зин уста­но­вил скид­ки на не­сколь­ко те­ле­фо­нов: если цена те­ле­фо­на со­став­ля­ет N тыс. руб., то он продаётся со скид­кой N%.

а)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 1 тыс. руб.?

б)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 2 тыс. руб.?

в)  Из­вест­но, что сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­ви­ла ровно 3 тыс. руб. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство те­ле­фо­нов могло про­да­вать­ся со скид­кой?

Име­ет­ся m оди­на­ко­вых шо­ко­ла­док, ко­то­рые можно раз­де­лить по­ров­ну на n школь­ни­ков. Каж­дую шо­ко­лад­ку раз­ре­ша­ет­ся раз­ло­мить не более од­но­го раза (не­обя­за­тель­но на рав­ные части).

а)  Воз­мож­но ли тре­бу­е­мое при m  =  18, n  =  27?

б)  Воз­мож­но ли тре­бу­е­мое при m  =  18, n  =  28?

в)  При каких n тре­бу­е­мое воз­мож­но, если m  =  14?

На по­ли­го­не рас­по­ло­же­ны 300 узлов связи, не­ко­то­рые из ко­то­рых со­еди­не­ны про­во­да­ми (про­во­да пря­мые, один про­вод со­еди­ня­ет ровно 2 узла, между лю­бы­ми двумя уз­ла­ми про­хо­дит не более од­но­го про­во­да). Си­сте­ма узлов связ­на, то есть из лю­бо­го узла можно пе­ре­дать сиг­нал в любой дру­гой (воз­мож­но, через про­ме­жу­точ­ные узлы). Будем на­зы­вать узел зна­чи­мым, если его лик­ви­да­ция при­во­дит к тому, что си­сте­ма остав­ших­ся узлов пе­ре­ста­ет быть связ­ной. При лик­ви­да­ции узла все про­во­да, ко­то­рые вели не­по­сред­ствен­но к нему, пе­ре­ста­ют функ­ци­о­ни­ро­вать.

а)  Может ли в си­сте­ме быть ровно 2 зна­чи­мых узла?

б)  Может ли каж­дый зна­чи­мый узел быть со­еди­нен толь­ко с не­зна­чи­мым?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство узлов могут быть зна­чи­мы­ми?

На лу­жай­ке по кругу рас­по­ло­жен 2431 цве­ток, каж­дый из ко­то­рых яв­ля­ет­ся вер­ши­ной пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Пчела ле­та­ет по кругу про­тив ча­со­вой стрел­ки, за один раз пе­ре­ме­ща­ясь на n цве­тов (пер­вые по­пав­ши­е­ся (n – 1) цве­тов она про­пус­ка­ет, а на n-й са­дит­ся). При этом

а)  На сколь­ких раз­лич­ных цве­тах может по­бы­вать пчела, если n  =  2?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое до­пу­сти­мое зна­че­ние при ко­то­ром пчела имеет воз­мож­ность по­бы­вать ровно на 26 цве­тах?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число раз­лич­ных цве­тов, на ко­то­рых может по­бы­вать пчела, со­вер­шив 100 000 пе­ре­ле­тов.

В па­ке­те 28 кон­фет, 24 из них в се­реб­ри­стой упа­ков­ке, а осталь­ные  — в зо­ло­ти­стой.

а)  Кон­фе­ты слу­чай­ным об­ра­зом рас­кла­ды­ва­ют в две ко­роб­ки  — по 14 штук в каж­дую. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в каж­дой из ко­ро­бок ока­жет­ся по две кон­фе­ты в зо­ло­ти­стой упа­ков­ке?

б)  Кон­фе­ты слу­чай­ным об­ра­зом рас­кла­ды­ва­ют в две ко­роб­ки  — по 14 штук в каж­дую. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в одной из ко­ро­бок не будет ни одной кон­фе­ты в зо­ло­ти­стой упа­ков­ке?

в)  К име­ю­щим­ся кон­фе­там до­ба­ви­ли еще по рав­но­му ко­ли­че­ству кон­фет в зо­ло­ти­стой и се­реб­ри­стой упа­ков­ках. Потом две кон­фе­ты убра­ли, вы­брав их на­у­гад. Может ли ве­ро­ят­ность того, что эти две кон­фе­ты в оди­на­ко­вой упа­ков­ке, в целое число раз от­ли­чать­ся от ве­ро­ят­но­сти того, что эти две кон­фе­ты в раз­ных упа­ков­ках?

Все 36 уче­ни­ков 11-го клас­са два раза пи­са­ли тест, ко­то­рый может быть оценён в любое целое ко­ли­че­ство бал­лов от 0 до 100 вклю­чи­тель­но. Не­це­лое число бал­лов за тест никто по­лу­чить не может. В ре­зуль­та­те каж­до­го из двух те­сти­ро­ва­ний сред­ний балл всего клас­са, сред­ний балл всех уче­ни­ков, по­лу­чив­ших менее 39 бал­лов, и сред­ний балл всех уче­ни­ков, по­лу­чив­ших не менее 39 бал­лов, ока­за­лись це­лы­ми чис­ла­ми. При пер­вом те­сти­ро­ва­нии ровно трое уче­ни­ков по­лу­чи­ли за тест менее 39 бал­лов каж­дый.

а)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ный сред­ний балл М всего клас­са по ито­гам пер­во­го те­сти­ро­ва­ния. Какой при этом сред­ний балл трёх уче­ни­ков, по­ка­зав­ших худ­шие ре­зуль­та­ты?

б)  Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ный сред­ний балл всего клас­са по ито­гам пер­во­го те­сти­ро­ва­ния. Какой при этом сред­ний балл трёх уче­ни­ков, по­ка­зав­ших худ­шие ре­зуль­та­ты?

в)  По ито­гам вто­ро­го те­сти­ро­ва­ния сред­ний балл всего клас­са ока­зал­ся равен М + 1. Най­ди­те при этом усло­вии ко­ли­че­ство N уче­ни­ков, на­брав­ших не менее 39 бал­лов. Какой при этом сред­ний балл у этих N уче­ни­ков?