В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.
а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист
из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?
а) Шахматисты из России сыграли между собой 15 партий, в которых было разыграно 15 очков. Поэтому сумма не может быть меньше 15.
б) Даже если шахматисты из России выиграли у всех остальных, это дает лишь 
очков, поэтому 
очков быть не может.
в) Назовем Васей победителя турнира, а Джоном — шахматиста, занявшего второе место. Если Джон выиграл у прочих иностранцев и сыграл вничью со всеми россиянами, Вася выиграл у всех, кроме Джона, прочие россияне между собой играли вничью, как и прочие иностранцы, а в остальных партиях россияне всегда побеждали, то у Васи будет 
очков, у Джона 
у прочих россиян по 
а у прочих иностранцев по 
Все условия выполнены, а у россиян 
очков.
Докажем, что больше быть не может. Если россияне потеряли в партиях с иностранцами менее трех очков, то Джон имеет не более 
очков, тогда остальные россияне — максимум по 
и их общее число очков не превосходит 
Противоречие.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 96.