СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521484

В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.

а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?

б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?

в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист

из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?

Решение.

а) Шахматисты из России сыграли между собой 15 партий, в которых было разыграно 15 очков. Поэтому сумма не может быть меньше 15.

 

б) Даже если шахматисты из России выиграли у всех остальных, это дает лишь очков, поэтому очков быть не может.

 

в) Назовем Васей победителя турнира, а Джоном — шахматиста, занявшего второе место. Если Джон выиграл у прочих иностранцев и сыграл вничью со всеми россиянами, Вася выиграл у всех, кроме Джона, прочие россияне между собой играли вничью, как и прочие иностранцы, а в остальных партиях россияне всегда побеждали, то у Васи будет очков, у Джона у прочих россиян по а у прочих иностранцев по Все условия выполнены, а у россиян очков.

 

Докажем, что больше быть не может. Если россияне потеряли в партиях с иностранцами менее трех очков, то Джон имеет не более очков, тогда остальные россияне — максимум по и их общее число очков не превосходит Противоречие.

 

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 96.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 214.