Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 505657

n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом

каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

а) При каких n это возможно, если m = 9?

б) При каких n и m это возможно?

Спрятать решение

Решение.

Решим сразу пункт б).

Расположим m шоколадок одну за другой в одну линию и разрежем получившуюся шоколадную полосу равномерно на n равных частей. Будем считать, что длина шоколадки равна n. Каждый школьник должен получить порцию длины m. Если n меньше или равно m, то длина порции будет не меньше n. Следовательно, по каждой шоколадке пройдёт не более одного разреза.

Пусть n=m плюс d, где d — делитель m. В этом случае длина порции равна n минус d. При описанном способе раздела каждая шоколадка делится на части длины, кратной d, значит, расстояние от линии разреза до края шоколадки не меньше d. Два разреза, проходящие по одной шоколадке, вырезали бы из неё часть, не большую n минус 2d, что меньше порции. Значит, каждая шоколадка окажется разрезанной не более одного раза.

Докажем, что других пар  левая круглая скобка n,m правая круглая скобка нет. Пусть n=m плюс d и удалось разделить шоколадки с соблюдением условий. Докажем, что длины всех кусочков, а следовательно, и m кратны d. Пусть это не так. Рассмотрим кусок наименьшей длины r, не кратной d. Тогда есть кусок длины n минус r. Тот, кто его получил, также получил кусок длины, не большей m минус левая круглая скобка n минус r правая круглая скобка меньше r, не кратный d. Противоречие. Значит, m кратно d. Теперь ясно, какой ответ в пунктах а) и б).

а) при n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18.

б) при n меньше или равно m или при n минус m минус НОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.