СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521834

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлена обыкновенная дробь А, числитель и знаменатель которой — пятизначные числа (каждая цифра использовалась ровно один раз).

а) Какое наибольшее значение может принимать А?

б) Может ли значение А оказаться целым числом?

в) Найдите такое А, чтобы значение |A − 1| было наименьшим.

Решение.

а) Если хоть одна из цифр числителя меньше хоть одной из цифр знаменателя, то поменяв их местами мы увеличим числитель и уменьшим знаменатель, увеличив тем самым дробь (сразу договоримся, что если в числителе был ноль, то мы переставим его не на первое место). Значит, в числителе цифры от до а в знаменателе - остальные. Составляя максимальный числитель и минимальный знаменатель, получаем

 

б) Да, это возможно, например

 

в) Следует взять Докажем это.

 

Пусть дробь имеет вид где Тогда поэтому можно считать, что дробь правильная. Первая цифра числителя меньше, чем первая цифра знаменателя, а остальные цифры выгодно распределить так - самые большие в числитель и упорядочить по убыванию, остальные - в знаменатель и упорядочить по возрастанию (если заменить любое другое распределение на такое, дробь только увеличится).

 

Далее, если первые цифры отличаются более, чем на то числитель и знаменатель отличаются более, чем на поэтому дробь не больше а мы уже знаем ответ лучше.

 

Тогда оставшиеся кандидаты — Перебирая их, находим оптимальный ответ:

 

Ответ: а) б) ; в)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236.