а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды PABCD лежит тра­пе­ция ABCD c боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PDC.

б)  Най­ди­те объем PKBC, если AB  =  3, BC  =  5, CD  =  4, а вы­со­та пи­ра­ми­ды PABCD равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В мае 2022 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 37,5 мил­ли­о­нов руб­лей на 25 лет (по­след­няя вы­пла­та за­пла­ни­ро­ва­на в 2047 году). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — пока долг боль­ше по­ло­ви­ны, каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на 8% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — если долг не пре­вы­ша­ет по­ло­ви­ны ис­ход­ной суммы, каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по ап­рель не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в мае каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на май преды­ду­ще­го года.

Опре­де­ли­те r, если общая сумма вы­плат долж­на рав­нять­ся 74,16 млн руб.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD, в ко­то­ром a AB  =  6, рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Окруж­ность с цен­тром в точке K, ра­ди­ус ко­то­рой равен 2, ка­са­ет­ся сто­рон AB и АD. Окруж­ность с цен­тром в точке L, ра­ди­ус ко­то­рой равен 1, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD и пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, K и L лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CLM, если M  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из вер­ши­ны B на пря­мую, про­хо­дя­щую через точки K и L.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень:

На по­ли­го­не рас­по­ло­же­ны 300 узлов связи, не­ко­то­рые из ко­то­рых со­еди­не­ны про­во­да­ми (про­во­да пря­мые, один про­вод со­еди­ня­ет ровно 2 узла, между лю­бы­ми двумя уз­ла­ми про­хо­дит не более од­но­го про­во­да). Си­сте­ма узлов связ­на, то есть из лю­бо­го узла можно пе­ре­дать сиг­нал в любой дру­гой (воз­мож­но, через про­ме­жу­точ­ные узлы). Будем на­зы­вать узел зна­чи­мым, если его лик­ви­да­ция при­во­дит к тому, что си­сте­ма остав­ших­ся узлов пе­ре­ста­ет быть связ­ной. При лик­ви­да­ции узла все про­во­да, ко­то­рые вели не­по­сред­ствен­но к нему, пе­ре­ста­ют функ­ци­о­ни­ро­вать.

а)  Может ли в си­сте­ме быть ровно 2 зна­чи­мых узла?

б)  Может ли каж­дый зна­чи­мый узел быть со­еди­нен толь­ко с не­зна­чи­мым?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство узлов могут быть зна­чи­мы­ми?