Инспектор ДПС майор Худаков получил указание начальства останавливать те автомобили, трехзначный госномер которых n удовлетворяет следующим требованиям: если выписать все целые числа от 1 до n и посчитать количество записанных цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Сначала майор попробовал выполнять требуемые вычисления для каждого автомобиля в режиме реального времени мелом на асфальте, но мел скоро закончился. Помогите майору определить номера нужных автомобилей.
Посчитаем количество цифр, которые потребуются для записи всех чисел от 1 до n, где n — трехзначное. Это количество равно 
так как надо записать 9 однозначных, 90 двузначных и n — 99 трехзначных чисел.
Пусть десятичная запись числа n такая: 
Тогда из условия получим уравнение:
Упростим: 
Отсюда 
где n — целое число. Так как c и a цифры, то n может быть равно только −1, 0 или 1.
Разберем случаи:
1) 
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Ясно, что это уравнение не имеет решения в натуральных числах.
2) 
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Сократим на 20, получим: 
Отсюда 
3) 
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Разделим на 10, получим: 
Левая часть четная, правая — нечетная. Значит, этот случай невозможен.
Ответ: такой номер один — 153.