Даны N синих и N красных палочек, причем сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N‐угольник, и из красных — тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю — в красный цвет, а красную — в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N‐угольник, и из красных — тоже?
Решите задачу
а) для N = 3;
б) для произвольного натурального N > 3.
а) Пусть длины синих палочек 12, 17, 20, а красных — 2, 23, 24. Поскольку единственная пара с разностью, меньшей 2, — это (23, 24), а после перекрашивания палочка 2 попадет в другую по составу тройку, то в ней разность наибольших сторон будет больше 2, и треугольник сложить будет нельзя.
б) Пусть k = N − 2. Составим набор из двух синих палочек длины 12k + 5 и 24k − 4 и k палочек длины 12; двух «длинных» красных палочек длины 24k – 1 и 24k и k палочек длины 2/k. Если перекрашена одна из двух «длинных» красных палочек, то разность между длинными красными палочками после перекрашивания больше 2, и палочками длины 2/k её не покрыть. Пусть синей стала палочка длины 2/k. Если палочка длины 24k − 4 осталась синей, то сумма остальных синих не превосходит 2/k + 12(k − 1)−+ 12k + 5 < 24k − 4. Если палочка длины 24k − 4 стала красной, то наибольшей синей стала палочка длины 12k + 5, но сумма остальных синих 12k +2/k < 12k + 5. В обоих случаях синий многоугольник не складывается.
Ответ: а) не всегда б) не всегда.