Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 505699

Даны N синих и N красных палочек, причем сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N‐угольник, и из красных — тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю — в красный цвет, а красную — в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N‐угольник, и из красных — тоже?

Решите задачу

а) для N = 3;

б) для произвольного натурального N > 3.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть длины синих палочек 12, 17, 20, а красных — 2, 23, 24. Поскольку единственная пара с разностью, меньшей 2, — это (23, 24), а после перекрашивания палочка 2 попадет в другую по составу тройку, то в ней разность наибольших сторон будет больше 2, и треугольник сложить будет нельзя.

б) Пусть k = N − 2. Составим набор из двух синих палочек длины 12k + 5 и 24k − 4 и k палочек длины 12; двух «длинных» красных палочек длины 24k – 1 и 24k и k палочек длины 2/k. Если перекрашена одна из двух «длинных» красных палочек, то разность между длинными красными палочками после перекрашивания больше 2, и палочками длины 2/k её не покрыть. Пусть синей стала палочка длины 2/k. Если палочка длины 24k − 4 осталась синей, то сумма остальных синих не превосходит 2/k + 12(k − 1)−+ 12k + 5 < 24k − 4. Если палочка длины 24k − 4 стала красной, то наибольшей синей стала палочка длины 12k + 5, но сумма остальных синих 12k +2/k < 12k + 5. В обоих случаях синий многоугольник не складывается.

 

Ответ: а) не всегда б) не всегда.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.