СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505765

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй — на треть, третий — на четверть, четвертый — на одну пятую, пятый — на одну восьмую, шестой — на одну девятую, и седьмой — на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой‐нибудь стакан оказаться заполненным

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую?

Решение.

а) Если вместимость стакана считать равной 1, то в первых трех стаканах в сумме 1 и 1/12 воды. Перельем в первый стакан всю воду из второго, а затем из третьего, пока первый не заполнится. После этого в третьем стакане окажется 1/12.

б) Докажем индукцией по количеству переливаний, что количество воды в непустом стакане после переливаний есть либо 1, либо дробная часть суммы некоторых из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10, при этом в разных стаканах в суммах участвуют неповторяющиеся числа. База индукции верна. Пусть в стаканах A и B количество воды равно a и b соответственно. Если из стакана A в стакан B переливается вся вода, то новые количества составляют 0 и a + b, а если стакан B наполняется из A доверху, то a + b − 1 и 1. Теперь ясно, что утверждение осталось истинным.

Пусть 1/6 = a1 +...+ ak , где ak – некоторые из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10.

Покажем, что в этой сумме нет чисел 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10. Действительно, легко проверить, что если там присутствует хотя бы одно из чисел 1/5 или 1/10 , одно из чисел 1/4 или 1/8 , или число 1/9 , то знаменатель получившейся дроби делится на 5, 4 или 9 соответственно. В то же время число 6 не делится ни на одно из этих чисел. Из чисел же 1/2 и 1/3 невозможно сложением получить число с дробной частью 1/6 .

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.