а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ c реб­ра­ми и AA₁  =  12, точки M и K  — се­ре­ди­ны AB и ВС со­от­вет­ствен­но. Точка  N лежит на ребре  BB₁, при­чем BN  =  6. Через точку  D про­ве­ли плос­кость α па­рал­лель­но плос­ко­сти  KMN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точки  A₁ и  C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ха­ри­тон хочет взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму и вы­би­ра­ет между двумя бан­ка­ми. Пер­вый банк пред­ла­га­ет кре­дит на 10 лет под 7% го­до­вых, вто­рой  — на 6 лет под 9% го­до­вых. В обоих бан­ках при­ме­ня­ет­ся диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная си­сте­ма пла­те­жей по кре­ди­ту, то есть долг перед бан­ком умень­ша­ет­ся каж­дый год на одну и ту же ве­ли­чи­ну по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Опре­де­ли­те, в каком банке пе­ре­пла­та по кре­ди­ту будет мень­ше и на сколь­ко про­цен­тов.

На окруж­но­сти от­ме­че­ны точки K, L, M, N, при­чем пря­мые KL и MN пе­ре­се­ка­ют­ся вне круга в точке E, пря­мые LM и KN пе­ре­се­ка­ют­ся вне круга в точке F. Бис­сек­три­са угла KEN пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки LM и KN в точ­ках P и R со­от­вет­ствен­но. Пря­мая, про­ве­ден­ная через точку F пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой PR, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки KL и MN в точ­ках S и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PQRS  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка PQRS, если из­вест­но, что EL  =  4, EM  =  6, LM  =  5 и KN  =  15.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 корня.

На лу­жай­ке по кругу рас­по­ло­жен 2431 цве­ток, каж­дый из ко­то­рых яв­ля­ет­ся вер­ши­ной пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Пчела ле­та­ет по кругу про­тив ча­со­вой стрел­ки, за один раз пе­ре­ме­ща­ясь на n цве­тов (пер­вые по­пав­ши­е­ся (n – 1) цве­тов она про­пус­ка­ет, а на n-й са­дит­ся). При этом

а)  На сколь­ких раз­лич­ных цве­тах может по­бы­вать пчела, если n  =  2?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое до­пу­сти­мое зна­че­ние при ко­то­ром пчела имеет воз­мож­ность по­бы­вать ровно на 26 цве­тах?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число раз­лич­ных цве­тов, на ко­то­рых может по­бы­вать пчела, со­вер­шив 100 000 пе­ре­ле­тов.