а)  Разо­бьем всех школь­ни­ков на клас­сы. Пусть в каж­дом клас­се не более 14 че­ло­век. Пусть k – число клас­сов, со­сто­я­щих хотя бы из двух школь­ни­ков (такие клас­сы на­зо­вем боль­ши­ми). Тогда из усло­вия ясно, что k\leqslant 4 (иначе, взяв по два школь­ни­ка из пяти боль­ших клас­сов, мы по­лу­чим 10 че­ло­век, среди ко­то­рых нет трех од­но­класс­ни­ков).

Пусть k  =  4. Тогда общее число школь­ни­ков в боль­ших клас­сах не пре­вос­хо­дит 56. Зна­чит, най­дут­ся 4 школь­ни­ка, каж­дый из ко­то­рых не имеет од­но­класс­ни­ков. Возь­мем их и еще по два школь­ни­ка из трех боль­ших клас­сов. У нас по­лу­чи­лось 10 школь­ни­ков, среди ко­то­рых нет трех од­но­класс­ни­ков.

Пусть те­перь k мень­ше че­ты­рех. Тогда (ана­ло­гич­но) най­дут­ся как ми­ни­мум 18 школь­ни­ков, каж­дый из ко­то­рых не имеет од­но­класс­ни­ков. Это, ко­неч­но, про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Таким об­ра­зом, хотя бы в одном клас­се не менее 15 школь­ни­ков.

б)  Не­обя­за­тель­но. Рас­смот­рим 4 клас­са по 15 школь­ни­ков. Тогда среди любых де­ся­ти най­дут­ся три од­но­класс­ни­ка, но 16 од­но­класс­ни­ков не най­дет­ся.

Ответ: а) Обя­за­тель­но; б) Нет.