СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 506049

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдется три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдется

а) 15 одноклассников;

б) 16 одноклассников?

Решение.

а) Разобьем всех школьников на классы. Пусть в каждом классе не более 14 человек. Пусть k – число классов, состоящих хотя бы из двух школьников (такие классы назовем большими). Тогда из условия ясно, что k\le 4 (иначе, взяв по два школьника из пяти больших классов, мы получим 10 человек, среди которых нет трех одноклассников).

Пусть k = 4. Тогда общее число школьников в больших классах не превосходит 56. Значит, найдутся 4 школьника, каждый из которых не имеет одноклассников. Возьмем их и еще по два школьника из трех больших классов. У нас получилось 10 школьников, среди которых нет трех одноклассников.

Пусть теперь k меньше четырех. Тогда (аналогично) найдутся как минимум 18 школьников, каждый из которых не имеет одноклассников. Это, конечно, противоречит условию.

Таким образом, хотя бы в одном классе не менее 15 школьников.

б) Необязательно. Рассмотрим 4 класса по 15 школьников. Тогда среди любых десяти найдутся три одноклассника, но 16 одноклассников не найдется.

 

Ответ: а) Обязательно; б) Нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.