ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 527438 Добавить в вариант

В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой.

а)  Может ли в каждой группе быть 33 студента?

б)  Может ли число студентов, изучающих только английский язык во второй группе быть равно 2?

в)  Каково минимально возможное количество студентов в каждой группе?

Спрятать решение

Решение.

Пусть в первой группе 5 человек изучают оба языка, x изучают только французский (тогда во второй таких $3 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 5=3x плюс 10$ ) и y во второй группе изучают только английский (тогда в первой таких $4 левая круглая скобка y плюс 5 правая круглая скобка минус 5=4y плюс 15$ ). По условию,

$5 плюс x плюс 4y плюс 15=5 плюс 3x плюс 10 плюс y,$

откуда $5 плюс 3y=2x.$

а)  Если $5 плюс x плюс 4y плюс 15=33,$ то $x=13 минус 4y.$ Значит, $5 плюс 3y=2 левая круглая скобка 13 минус 4y правая круглая скобка ,$ $21=11y,$ что невозможно.

б)  Если $y=2,$ то $5 плюс 3y=2x$ дает $x=5,5,$ что невозможно.

в)  Если взять $y=1,$ $x=4,$ мы получим в каждой группе 28 человек. Взять $y=0$ нельзя, будет нецелое x. Если же увеличивать y, то будет увеличиваться и $x= дробь: числитель: 5 плюс 3y, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому увеличится и $20 плюс x плюс 4y.$

Ответ: а) нет; б) нет; в) 28.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь