СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505947

а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Решение.

а) Хотя бы одно кольцо надо распилить. Тогда получается одно распиленное кольцо и цепочка, содержащая 10 колец. Ясно, что уже на второй день произвести оплату не удастся. Значит, распилов должно быть как минимум два. Покажем, что этого хватит: распилим четвертое кольцо полученной цепочки (из десяти колец). Тогда будем иметь два распиленных кольца, одну цепочку в три кольца и одну в шесть колец. В первый день отдаем кольцо, во второй еще одно. На третий день отдаем цепочку из трёх колец, и получаем назад два кольца. На четвертый и пятый день отдаем оп одному кольцу. На шестой день отдаем цепочку из шести колец и получаем обратно пять колец. Далее ясно.

б) Разрезание колец дает распиленных колец и не более чем цепочек.

Для выполнения условий задачи самая короткая цепочка не может состоять более, чем из кольца. Следующая по длине не может состоять из более чем кольца. Следующая по длине цепочка не может состоять из более чем кольца. И так далее. Получается геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Таким образом, максимально в исходной цепочке может быть

 

колец.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.