СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 506055

Трид­цать три бо­га­ты­ря на­ня­лись охра­нять Лу­ко­мо­рье за 240 монет. Хит­рый дядь­ка Чер­но­мор может раз­де­лить бо­га­ты­рей на от­ря­ды про­из­воль­ной чис­лен­но­сти (или за­пи­сать всех в один отряд), а затем рас­пре­де­лить все жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми. Каж­дый отряд делит свои мо­не­ты по­ров­ну, а оста­ток от­да­ет Чер­но­мо­ру. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может до­стать­ся Чер­но­мо­ру, если:

а) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет как ему угод­но;

б) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет по­ров­ну?

Решение.

а) Остаток всегда меньше делителя, поэтому с отряда в N богатырей Черномор не сможет получить максимум N − 1 монету. Если отрядов K, то Черномор получит не более 33 – K монет. Пусть отряд всего один. Тогда Черномор получит только 9 монет, так как 240 = 33 · 7 + 9. Значит, 32 монеты получить не удается. Покажем, как получить 31 монету.

Пусть Черномор разделил богатырей на два отряда: 32 богатыря и один богатырь. Первому отряду Черномор отдает 63 монеты, и получает 31 монету. А остальные 177 монет получает оставшийся богатырь.

б) Чтобы получить 31 монету, Черномор должен разделить рыцарей на два отряда и выдать каждому отряду по 120 монет. При этом, с отряда в N человек он должен получить N − 1 монету. Но тогда 121 делится на N. Значит, N может равняться только 1, 11 или 121. Но из двух таких чисел не составить 33.

Покажем, как получить 30 монет. Пусть, например, в одном отряде 27 богатырей, а в двух других — по три. Тогда Черномор раздает каждому отряду по 80 монет. В итоге с первого отряда он получит назад 26 монет, а с каждого из оставшихся – по две монеты. В итоге получается 30 монет.

 

Ответ: а) 31; б) 30.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.