В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.
а) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102?
б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162?
в) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?
Пусть изначально было 
царство, а при каждом из k делений добавлялось по n новых царств. Значит, общее число царств будет равно 
а) Имеем: ##
поскольку 101 — простое, а 
по условию, должно быть 
то есть никаких делений не было. Противоречие.
б) Аналогично предыдущему получаем
и
где k — число делений до достижения 162 царств, а l — до достижения 320. Но числа 
и 
не имеют общих делителей, кроме единицы, а 
запрещено по условию.
в) Из уравнения
получаем 
Значит, n — делитель 37, не равный единице. Поэтому 
и изначально было 38 царств.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 38.