В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т. е. прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Введем систему координат, в которой три вершины квадрата имеют координаты (0, 0), (1, 0), (0, 1). Тогда, очевидно, четвертая вершина имеет координаты (1, 1).
Пусть кузнечик находится в точке (a, b) и прыгает через кузнечика, находящегося в (c, d).
Тогда его координаты станут равны (2c − a, 2d − b). Таким образом, первая координата изменяется на четное число 2(с − a), а вторая координата изменяется на четное число 2(d − b).
Значит четности координат кузнечиков не меняются. Поэтому чтобы попасть в точку (1; 1), необходимо находиться в точке, обе координаты которой нечетны. Таким точек, среди первых трех вершин квадрата нет. Поэтому попасть в четвертую вершину квадрата никто из кузнечиков не может.