1. Тип 15 № 508319 
Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции
Методы алгебры: Замена — сумма или разность
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции
i
Решите неравенство 
Решение. Перепишем неравенство в виде 
и положим 
Тогда 
и, значит, 
Далее имеем: 
откуда 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
508319
Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции
Методы алгебры: Замена — сумма или разность
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
получаем:
или 
получаем: 
откуда находим решение неравенства: 
или 
откуда находим: 
или 
затем умножим обе части неравенства на положительное выражение 
получим:
получим:
Тогда 
или 
Перейдем к переменной х.
неравенство имеет вид:
или 
тогда 
решим квадратное неравенство:
за t. Получим:
или 
откуда 
или 
неравенство имеет вид:
или 
и преобразуем неравенство:
и отрицательны при 
Второй множитель числителя положителен при 
и отрицателен при 
При 
он равен нулю. Применяя метод интервалов, получаем множество решений неравенства: 
тогда
тогда
или 
тогда неравенство примет вид:
откуда 
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
тогда имеем 
и 
Корень знаменателя 
(см. рис.) 
тогда неравенство примет вид:
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
тогда
получим 
решений нет.
получим 
откуда 
получим 
откуда 
тогда неравенство принимает вид:
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
то есть при 
дробь можно сократить:
или 
дробь сохраняет знак. Взяв пробные точки, устанавливаем, что отрицательные значения дробь принимает на интервале 
Присоединим число 0 — корень числителя, получим полуинтервал 
и свести неравенство к рациональному:
а 
и разделим числитель и знаменатель дроби на выражение 
тогда: 
получим: 
тогда неравенство примет вид 
Решим это неравенство методом интервалов: 
Решим неравенство методом рационализации, для этого применим теоремы о знаках: при положительных a выражения 
и 
имеют одинаковые знаки, при положительных a выражения 
и 
имеют одинаковые знаки. Итак, 
тогда неравенство примет вид 
Решим это неравенство методом интервалов:
тогда
откуда получаем:
тогда
тогда 
а 
Упростим разность левой и правой частей:
тогда
тогда 
тогда
Неравенство принимает вид:
имеем:
имеем:
тогда
Получаем:
или 
При 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
Решение исходного неравенства: 
и 
Тогда
Тогда:
тогда
подбором найдем его рациональный корень 
затем разделим этот многочлен на 
«в столбик» или применив схему Горнера. Получим:
тогда
получим неравенство рациональное неравенство:
решением которого является число −1, и неравенство 
решениями которого являются числа, меньшие −2.
:
:
получаем решение неравенства: 
и/или 
тогда
тогда
Вернемся к исходной переменной:
получим: 
Заметим, что t = 2 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 2 «в столбик» или применив схему Горнера. Таким образом, имеем:
и 
имеют одинаковые знаки. Получим: 
