Ост­рый угол B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 73°. Най­ди­те угол между бис­сек­три­сой CD и ме­ди­а­ной CM, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся вер­ши­ны A, B, C, D, B₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AB  =  3, BC  =  7, BB₁  =  5.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оба раза мо­нет­ка упа­дет одной и той же сто­ро­ной.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,19. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x). В какой точке от­рез­ка [0; 2] f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий моль воз­ду­ха при дав­ле­нии ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — по­сто­ян­ная, К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 16200 Дж.

Поля и Оля вспа­хи­ва­ют гряд­ку за 14 минут, а одна Оля  — за 112 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Поля?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(5).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан тет­ра­эдр ABCD. На ребре AC вы­бра­на точка K так, что Также на реб­рах AD, BD и BC вы­бра­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но так, что KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что ребра AB и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти KLMN, если объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

  — с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года), а общая сумма вы­плат равна 311 040 руб­лей?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 3].

Егор делит ли­ней­ку на части. За одно дей­ствие он может от­ре­зать от лю­бо­го ко­ли­че­ства ли­не­ек рав­ные части, име­ю­щие целую длину.

а)  Может ли Егор за 5 ходов раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 32 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 4 хода раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 50 см на части по 1 см?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ходов Егор может раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 300 см на части по 1 см?