В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB  =  13, CD  =  18. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD.

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, ис­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 5, 6, 8. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да, ребра ко­то­ро­го равны по­ло­ви­нам ребер дан­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ис­то­рии всего 25 би­ле­тов, в 15 из них встре­ча­ет­ся во­прос о Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­прос о Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне.

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся со ско­ро­стью начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем За t се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь (м). Опре­де­ли­те время, про­шед­шее с мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 90 мет­ров. Ответ дайте в се­кун­дах.

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 45 часов, а дру­гой  — за 36 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(−2).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния ABC равны 12, а бо­ко­вые ребра  — 25. На реб­рах AB, AC и SA от­ме­че­ны точки F, E и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AE  =  AF  =  10, AK  =  15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды KAEF со­став­ля­ет от объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью KEF.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2022 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 419 375 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

—  с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Сколь­ко руб­лей будет вы­пла­че­но банку, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая BO вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если из­вест­но, что ра­ди­ус его опи­сан­ной окруж­но­сти равен 8, а

Найди все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Есть 4 камня по 3 кг и 11 кам­ней по 20 кг.

а)  Можно ли раз­ло­жить камни на 2 груп­пы так, чтобы раз­ность сумм масс групп была равна 14 кг?

б)  Можно ли раз­ло­жить камни в 2 груп­пы так, чтобы сумма масс кам­ней обеих групп была оди­на­ко­вой?

в)  Какую ми­ни­маль­ную массу раз­но­сти сум­мар­ных масс кам­ней можно до­стичь при раз­ло­же­нии кам­ней в 2 груп­пы?