ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 13 № 642157

i

а)  Решите уравнение $косинус в квадрате левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 642158

i

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка К лежит на ребре SC и делит его в отношении 1 : 3, считая от вершины. Точка M  — середина AS. Через МK проведено сечение, параллельное прямой DC.

а)  Докажите, что сечение является равнобедренной трапецией.

б)  Найдите угол между прямыми MK и DC, если $S A = A B = 16.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 642159

i

Решите неравенство: $дробь: числитель: 0,5 в степени x минус 8, знаменатель: 0,5 в степени x минус 4 конец дроби меньше или равно 0,5 в степени x плюс 1.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 16 № 642160

i

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

  —  в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  —  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 642161

i

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а)  Докажите, что $A C в квадрате = B C умножить на C K.$

б)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если $синус B = 0,6$ и сторона AC  =  24.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 642162

i

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$тангенс дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус 2 x правая круглая скобка = минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус 2 x правая круглая скобка$

имеет единственный корень на отрезке [−2; 0].

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 642163

i

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а)  Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?

б)  Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин. Тренировочный вариант № 432.