ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 514053 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x плюс 6, знаменатель: 1 минус 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant2 умножить на 3 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x плюс 6.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $2 в степени x =a,3 в степени x =b$ и преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: 3 левая круглая скобка a в квадрате минус 5a плюс 6 правая круглая скобка , знаменатель: 3 минус b конец дроби меньше или равно 2b минус 5a плюс 6 равносильно дробь: числитель: 3a в квадрате минус 5ab плюс 2b в квадрате , знаменатель: 3 минус b конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3a минус 2b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка , знаменатель: 3 минус b конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2b минус 3a правая круглая скобка левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка , знаменатель: b минус 3 конец дроби больше или равно 0.$

Вернёмся к исходной переменной:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 умножить на 3 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x минус 2 в степени x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 3 конец дроби больше или равно 0.$

Первый множитель числителя, как и знаменатель дроби, положительны при $x больше 1$ и отрицательны при $x меньше 1.$ Второй множитель числителя положителен при $x больше 0$ и отрицателен при $x меньше 0.$ При $x=0$ он равен нулю. Применяя метод интервалов, получаем множество решений неравенства: $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь