ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 519474 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x , знаменатель: x умножить на 2 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x минус 4x плюс 20 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на множители:

$6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x =3 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка ,$

$x умножить на 2 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x минус 4x плюс 20= левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на 2 в степени x минус 4 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка .$

Тогда при условии $2 в степени x минус 4 не равно 0,$ то есть при $x не равно 2,$ дробь можно сократить:

$дробь: числитель: 6 в степени x минус 4 умножить на 3 в степени x , знаменатель: x умножить на 2 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x минус 4x плюс 20 конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени x , знаменатель: x минус 5 конец дроби .$

Осталось решить неравенство $дробь: числитель: 3 в степени x , знаменатель: x минус 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби$ или $дробь: числитель: 3 в степени x минус 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби меньше или равно 0.$

Применим обобщенный метод интервалов: числитель и знаменатель обращаются в нуль в точках 0 и 5 соответственно, на промежутках $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;5 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка$ дробь сохраняет знак. Взяв пробные точки, устанавливаем, что отрицательные значения дробь принимает на интервале $левая круглая скобка 0;5 правая круглая скобка .$ Присоединим число 0  — корень числителя, получим полуинтервал $левая квадратная скобка 0;5 правая круглая скобка .$

С учетом ограничения $x не равно 2,$ находим ответ: $левая квадратная скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;5 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;5 правая круглая скобка .$

Примечание 1.

Применяя метод интервалов, можно было бы ограничиться рисунком.

Примечание 2.

Можно было применить теорему о знаке $\textrmsgn левая круглая скобка a в степени x минус 1 правая круглая скобка =\textrmsgn левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x$ и свести неравенство к рациональному:

$дробь: числитель: 3 в степени x минус 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка x, знаменатель: x минус 5 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 5 конец дроби меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно x меньше 5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Дарья Счастная 16.06.2018 13:21

За такое решение на ЕГЭ вам бы 0 баллов поставили, потому что мы не знаем, какой знак принимает выражение 2^x - 4 , а значит, на него нельзя делить.

Александр Иванов

Вы неправы.

Мы не делили обе части неравенства на выражение $2 в степени x минус 4$ , а сократили одну из частей. В этой ситуации не имеет значения знак этого выражения. Главное не потерять условие, что $2 в степени x минус 4$ не равно нулю

Андрей Анатольевич 05.12.2018 14:00

Абитуриент имеет ввиду, сомнительность аналогичного подхода при проверке проверяющими! Действительно, замечаний для снятия как минимум 1 б. вполне достаточно:

- как таковое отсутствует ОДЗ (например "пустая" точка х=5, не рассматривается в этом контексте совсем, а это неправильно)

- ссылка на "теорему о знаке" - вдвойне сомнительна, это где это такое в школьном курсе изучается? какой это пункт кодификатора??

- "Присоединим число 0 — корень числителя", а где это, собственно, показано, как это считалось, и почему оменно ноль - это то самое "или равно". Почему не 5, не 2? - ОЖЗ-то нет!

С уважением, Андр. Анат-ч

Александр Иванов

1. В решении учтено всё, что необходимо учесть.

2. Выписывание ОДЗ в явном виде не является обязательным.

3. Основания снижать балл при проверке данного решения отсутствуют