В доме, в ко­то­ром живет Игорь, один подъ­езд. На каж­дом этаже по шесть квар­тир. Игорь живет в квар­ти­ре 47. На каком этаже живет Игорь?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ве­ден­ной диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 14 гра­ду­сов Цель­сия.

Для транс­пор­ти­ров­ки 43 тонн груза на 1400 км можно вос­поль­зо­вать­ся услу­га­ми одной из трех фирм‐пе­ре­воз­чи­ков. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки и гру­зо­подъ­ем­ность ав­то­мо­би­лей каж­до­го пе­ре­воз­чи­ка ука­за­ны в таб­ли­це.

Во сколь­ко руб­лей обой­дет­ся наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант пе­ре­воз­ки?

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 20 спортс­ме­нов, среди них 3 пры­гу­на из Чехии и 2 пры­гу­на из Бо­ли­вии. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ре­бьев­кой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что две­на­дца­тым будет вы­сту­пать пры­гун из Чехии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Угол ACB равен 51°. Гра­дус­ная мера дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна 144°. Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 19). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [−2; 15].

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 17, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8. Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем где p (атм.)  — дав­ле­ние газа, V  — объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 600 см³ воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,6 раза. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см³.

Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 790 км. Из го­ро­да А в город В вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через два часа после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да В вы­ехал со ско­ро­стью 85 км/ч вто­рой ав­то­мо­биль. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, если ав­то­мо­би­ли встре­ти­лись на рас­сто­я­нии 450 км от го­ро­да А. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми и Длины бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SC и плос­ко­стью ASB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке А, при­чем мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и АС пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках К и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые КМ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков КМ и АР. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

15‐го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 14 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 15% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

Уче­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 63 бал­лов. Из-за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 4 балла, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 70, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 80, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 55. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 82, а не сдав­ших тест  — 58. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?