Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой  — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 1 и 4.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся пер­вых двух и их линии цен­тров.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в цен­трах трёх окруж­но­стей равен диа­мет­ру наи­боль­шей из этих окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы пер­вых двух равны 4 и 1.

Хорды AD, BE и CF окруж­но­сти делят друг друга на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что эти хорды равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F по­сле­до­ва­тель­но рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Точка B лежит на от­рез­ке AC. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром  AB в точке  K. Про­дол­же­ние от­рез­ка  MB пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром  AB в точке  D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и MC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK  =  3 и MK  =  12.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую  — в точке D. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую  — в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD   — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние CP : PB, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са вто­рой.

На ос­но­ва­нии BC тра­пе­ции ABCD взята точка E, ле­жа­щая на одной окруж­но­сти с точ­ка­ми A, C и D. Дру­гая окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A, B и C, ка­са­ет­ся пря­мой CD, AB  =  12, BE : EC  =  4 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ACD по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABE.

б)  Най­ди­те BC.

На диа­мет­ре АВ окруж­но­сти ω вы­бра­на точка С. На от­рез­ках АС и ВС как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти ω₁ и ω₂ со­от­вет­ствен­но. Пря­мая  l пе­ре­се­ка­ет окруж­ность  ω в точ­ках А и D, окруж­ность  ω₁  — в точ­ках А и Е, а окруж­ность  ω₂  — в точ­ках М и N.

а)  До­ка­жи­те, что MD  =  NE.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус круга, ка­са­ю­ще­го­ся окруж­но­стей ω, ω₁ и ω₂, если из­вест­но, что АС  =  10, ВС  =  6.

Дана окруж­ность с диа­мет­ром AB. Вто­рая окруж­ность с цен­тром в точке А пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точ­ках С и D, а диа­метр AB в точке E. На дуге СЕ, не со­дер­жа­щей точки D, взята точка M, от­лич­ная от точек С и E. Луч BM пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке N, а вто­рую в точке M₁.

а)  До­ка­жи­те, что точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если из­вест­но, что CN  =  6, DN  =  13,5.

Две окруж­но­сти имеют общий центр О. На окруж­но­сти боль­ше­го ра­ди­у­са вы­бра­на точка F.

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от точки F до кон­цов диа­мет­ра мень­шей окруж­но­сти не за­ви­сит ни от вы­бо­ра точки F, ни от вы­бо­ра диа­мет­ра. 

б)  Из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 10 и 24. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся концы диа­мет­ра мень­шей окруж­но­сти и точка F, тан­генс угла F этого тре­уголь­ни­ка равен

К двум не­пе­ре­се­ка­ю­щим­ся окруж­но­стям рав­ных ра­ди­у­сов про­ве­де­ны две па­рал­лель­ные общие ка­са­тель­ные. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся одной из этих пря­мых в точ­ках A и B. Через точку C, ле­жа­щую на от­рез­ке AB, про­ве­де­ны ка­са­тель­ные к этим окруж­но­стям, пе­ре­се­ка­ю­щие вто­рую пря­мую в точ­ках D и E, причём от­рез­ки CA и CD ка­са­ют­ся одной окруж­но­сти, а от­рез­ки CB и CE  — дру­гой.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CDE вдвое боль­ше рас­сто­я­ния между цен­тра­ми окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те DE, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 5, рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 18, а AC  =  8.

Окруж­ность с цен­тром O впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Окруж­ность боль­ше­го ра­ди­у­са с цен­тром O₁ также впи­са­на в этот угол и про­хо­дит через точку O.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой.

б)  Най­ди­те длину общей хорды этих окруж­но­стей, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти равен

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ния диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  3.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ и ра­ди­у­са­ми 3 и 4 пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку A про­ве­де­на пря­мая MK, пе­ре­се­ка­ю­щая обе окруж­но­сти в точ­ках M и K, при­чем точка A на­хо­дит­ся между ними.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BMK и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой MK, если O₁O₂  =  5, MK  =  7.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке C. Пря­мая ка­са­ет­ся мень­шей окруж­но­сти в точке A, а боль­шей  — в точке  B, от­лич­ной от A. Пря­мая  AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность в точке  D, пря­мая  BC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AE па­рал­лель­на пря­мой BD.

б)  Пусть L  — от­лич­ная от D точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ка DE с боль­шей окруж­но­стью. Най­ди­те EL, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 2 и 5.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой   — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BCD, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти равен 4, а ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти равен 1.

Из вер­ши­ны С пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CH.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­дей кру­гов, по­стро­ен­ных на от­рез­ках AH и BH со­от­вет­ствен­но как на диа­мет­рах равно

б)  Пусть точка O₁  — центр окруж­но­сти диа­мет­ра AH, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ю­щей от­ре­зок AC в точке P, а точка O₂  — центр окруж­но­сти с диа­мет­ром BH, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ю­щей от­ре­зок BC в точке Q. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка O₁PQO₂, если

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке С. Вер­ши­ны A и B рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC c пря­мым углом C лежат на боль­шей и мень­шей окруж­но­стях со­от­вет­ствен­но. Пря­мая  AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке D. Пря­мая BC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что AE па­рал­лель­но BD.

б)  Най­ди­те AC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 8 и 15.

К окруж­но­сти с диа­мет­ром AB  =  6 про­ве­де­на ка­са­тель­ная BC так, что Пря­мая AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке D. Точка E диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­на точке D. Пря­мые ED и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка FBE.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и K так, что их цен­тры рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой, со­дер­жа­щей от­ре­зок  АK. Точки В и С лежат на раз­ных окруж­но­стях. Пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок  АВ, ка­са­ет­ся одной окруж­но­сти в точке  А. Пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок АС, ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти также в точке А.

а)  До­ка­жи­те, что углы AKC и AKB равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если BK  =  1, CK  =  4, а тан­генс угла САВ равен

В по­лу­окруж­но­сти с диа­мет­ром MN рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂, ка­са­ю­щи­е­ся друг друга, по­лу­окруж­но­сти и пря­мой MN (при этом точки ка­са­ния c по­лу­окруж­но­стью  — это со­от­вет­ствен­но A и B).

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые O₁A, O₂B и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 2 и 5. Най­ди­те ра­ди­ус по­лу­окруж­но­сти.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Диа­метр СС₁ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AD и пе­ре­се­ка­ет ее в точке K, а диа­метр DD₁ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не АВ и пе­ре­се­ка­ет ее в точке L.

а)  Пусть АА₁ тоже диа­метр окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что углы DLK и A₁D₁D равны.

б)  Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если

Окруж­ность ω₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC за точки A и C со­от­вет­ствен­но, M  — точка ее ка­са­ния с пря­мой BC. Окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB и про­дол­же­ний сто­рон AC и BC за точки A и B со­от­вет­ствен­но, N  — точка ее ка­са­ния с пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что СМ  =  BN.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ω₁ и ω₂, если BC  =  5.

В тре­уголь­ни­ке ABC точка D лежит на сто­ро­не BC. В тре­уголь­ни­ки ABD и ACD впи­са­ны окруж­но­сти, и к ним про­ве­де­на общая внеш­няя ка­са­тель­ная (от­лич­ная от BC), пе­ре­се­ка­ю­щая AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка AK не за­ви­сит от по­ло­же­ния точки D на BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AK, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 30, а длина сто­ро­ны BC равна 10.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD, в ко­то­ром a AB  =  6, рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Окруж­ность с цен­тром в точке K, ра­ди­ус ко­то­рой равен 2, ка­са­ет­ся сто­рон AB и АD. Окруж­ность с цен­тром в точке L, ра­ди­ус ко­то­рой равен 1, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD и пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, K и L лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CLM, если M  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из вер­ши­ны B на пря­мую, про­хо­дя­щую через точки K и L.

Из вер­ши­ны ту­по­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CH. Окруж­ность с цен­тром H и ра­ди­у­сом HC вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а пря­мая CH  — эту окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что угол MDN равен сумме углов A и B тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние MN к AB, если из­вест­но, что и

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что AB  =  AE. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет AC в точке M, а от­ре­зок AD в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что точки C, D, M, N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Точка O  — центр опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка CMD окруж­но­сти. Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если AO  =  12, AB  =  4.

Точки A₁, B₁, C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что окруж­но­сти, опи­сан­ные около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁, и B₁AC₁, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Из­вест­но, что АВ  =  AC  =  13 и BC  =  10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­ны ко­то­ро­го  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁, и В₁AC₁.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Через точку P про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рич­но первую из окруж­но­стей в точке  A, а вто­рую  — в точке  B. Через точку Q также про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рич­но первую окруж­ность в точке C, а вто­рую  — в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и BD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы длин от­рез­ков AB и CD, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей равно 1.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся пер­вых двух и их линии цен­тров.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в цен­трах трёх окруж­но­стей равен диа­мет­ру наи­боль­шей из этих окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы пер­вых двух равны 4 и 1.

В угол впи­са­но не­сколь­ко окруж­но­стей, ра­ди­у­сы ко­то­рых воз­рас­та­ют. Каж­дая сле­ду­ю­щая окруж­ность ка­са­ет­ся преды­ду­щей окруж­но­сти. Длина ра­ди­у­са пер­вой окруж­но­сти равна 1, а пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го чет­вер­той окруж­но­стью, равна 64π.

а)  До­ка­жи­те, что длины ра­ди­у­сов окруж­но­стей об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию.

б)  Най­ди­те сумму длин вто­рой и тре­тьей окруж­но­стей.

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке К. Окруж­ность с цен­тром в точке O₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке L, а также ка­са­ет­ся про­дол­же­ния сто­рон AC и AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние если из­вест­но, что AC  =  7, BC  =  24 и AB  =  25.

Диа­го­на­ли вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. B тре­уголь­ни­ки AMB, BMC, CMD и AMD впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁, O₂, O₃ и O₄ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка O₁O₂O₃O₄ равна

б)  Пусть пря­мая O₂O₄ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны BC и AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те от­но­ше­ние AQ : QD, если из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность, а от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков СМР и ВМР равно 3 : 2.

Окруж­ность ка­са­ет­ся одной из сто­рон пря­мо­го угла с вер­ши­ной D в точке E и пе­ре­се­ка­ет вто­рую сто­ро­ну в точ­ках A и B (точка A лежит между B и D). В окруж­но­сти про­ведён диа­метр AC.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BC вдвое боль­ше от­рез­ка DE.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки E до пря­мой AC, если AD  =  4 и AB  =  5.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми О₁ и О₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Из точки О₁ про­ве­де­на ка­са­тель­ная О₁К ко вто­рой окруж­но­сти (К  — точка ка­са­ния), а из точки О₂ про­ве­де­на ка­са­тель­ная О₂L к пер­вой окруж­но­сти (L  — точка ка­са­ния), точки К и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой О₁О₂.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что он в 4 раза мень­ше ра­ди­у­са боль­шей окруж­но­сти, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка О₁КО₂L равна

Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ ра­ди­у­сов 4 и 1 со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Через точку В, ле­жа­щую на окруж­но­сти ω₁, про­ве­де­на пря­мая, ка­са­ю­ща­я­ся окруж­но­сти ω₂ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние от­рез­ков пря­мой АВ, от­се­ка­е­мых окруж­но­стя­ми, равно от­но­ше­нию их ра­ди­у­сов.

б)  Най­ди­те ВМ, если из­вест­но, что AB  =  2.

Две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, СА и СВ, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке С (А и В  — точки ка­са­ния). Вто­рая окруж­ность про­хо­дит через точку С, ка­са­ет­ся пря­мой АB в точке В и пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке М, от­лич­ной от В.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая АМ делит от­ре­зок ВС по­по­лам.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ВСМ, если BC  =  10, а си­ну­сы углов ВАМ и АВМ равны со­от­вет­ствен­но 0,6 и

Окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ раз­ных ра­ди­у­сов пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В. Хорда АС боль­шей окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке М и де­лит­ся этой точ­кой по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ция от­рез­ка O₁O₂ на пря­мую AC в че­ты­ре раза мень­ше AC.

б)  Най­ди­те O₁O₂, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 10 и 15, а АС  =  24.

Дан угол ве­ли­чи­ной 120° с вер­ши­ной С. Вне угла на про­дол­же­нии его бис­сек­три­сы взята точка О так, что С цен­тром в точке О по­стро­е­на окруж­ность ра­ди­у­са 3, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны угла в точ­ках А и В.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной сто­ро­на­ми угла и дугой окруж­но­сти, за­клю­чен­ной между ними.

Ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂, ка­са­ю­щих­ся внеш­ним об­ра­зом в точке A, равны 6 и 3 со­от­вет­ствен­но. Их общая се­ку­щая, про­ве­ден­ная через точку A, пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке В, вто­рую  — в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из точки В ко вто­рой окруж­но­сти, если AB  =  4.

Две окруж­но­сти раз­ных ра­ди­у­сов ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке C. Вер­ши­ны A и B рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C лежат на мень­шей и боль­шей окруж­но­стях со­от­вет­ствен­но. Пря­мая AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет бóльшую окруж­ность в точке E, а пря­мая BC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BE па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те BC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны и 3.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Через точку P про­ве­де­на ка­са­тель­ная к пер­вой из этих окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рую окруж­ность в точке L, а через точку Q про­ве­де­на ка­са­тель­ная ко вто­рой окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щая первую окруж­ность в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QL па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы длин от­рез­ков PM и QL, если PQ  =  ⁠1.

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину диа­го­на­ли BE, если

Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся сто­рон угла с вер­ши­ной N в точ­ках A и B. От­ре­зок BC  — диа­метр этой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки N до пря­мой AB, если из­вест­но, что AC  =  ⁠14 и AB  =  ⁠36.

К двум окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 1 про­ве­де­ны внеш­ние ка­са­тель­ные AB и CD, при­чем точки A и C лежат на мень­шей окруж­но­сти, а точки B и D  — на боль­шей. Пря­мая AD пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке N, а боль­шую  — в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AN  =  DM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что точки M и N делят от­ре­зок AD на три рав­ные части.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ рав­ных ра­ди­у­сов ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом и впи­са­ны в ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. Из­вест­но, что одна из окруж­но­стей ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в се­ре­ди­не.

а)  До­ка­жи­те, что один из углов тре­уголь­ни­ка ABC равен 30°.

б)  Окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ка­те­та AC в точке M, окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке N. Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка MCNO₂O₁, если ра­ди­ус окруж­но­стей равен 1.

Точка К лежит на от­рез­ке MN. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку M, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром КN в точке A и пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром МК в точ­ках М и В. Про­дол­же­ние от­рез­ка АК пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром МК в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CM и AN па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKN, если BM  =  6 и AB  =  30.