Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно, M — точка ее касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно, N — точка ее касания с прямой BC.
а) Докажите, что СМ = BN.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если 
BC = 5.
а) Введем обозначения, как показано на рисунке; O1 и O2 — центры окружностей. Заметим, что по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, верны равенства: BN = BI, JA = IA, CN = CJ. Из этих трех равенств получаем, что отрезок CN равен полупериметру треугольника ABC.
Аналогично из равенства отрезков AK и AF, CF и CN, BK и BM, получаем, что отрезок BM равен полупериметру треугольника ABC.
Тогда 
Что и требовалось доказать.
б) Из условия следует, что 
поэтому угол BAC прямой. Тогда треугольники O2IA и O1KA равнобедренные прямоугольные. Отсюда
Ответ: 