Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Диа­метр СС1 пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AD и пе­ре­се­ка­ет ее в точке K, а диа­метр DD1 пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не АВ и пе­ре­се­ка­ет ее в точке L.

а)  Пусть АА1 тоже диа­метр окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что углы DLK и A1D1D равны.

б)  Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если \angle ADB = 3 \angle BDC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы A1D1D и A1AD равны, так как они опи­ра­ют­ся на общую дугу A1D. Четырёхуголь­ник ALOK впи­сан­ный, по­сколь­ку \angle ALO плюс \angle OKA=180 гра­ду­сов , зна­чит,

\angle DLK=\angle OLK=\angle OAK=\angle A_1AD=\angle A_1D_1D,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По усло­вию \angle ADB = 3 \angle BDC, сле­до­ва­тель­но, дуга AD_1B в три раза боль­ше дуги BC. Пусть дуга \overset\smileBC=2 альфа , тогда \overset\smileAD_1=\overset\smileD_1B=3 альфа . Далее, из сим­мет­рии от­но­си­тель­но CC1 сле­ду­ет, что \overset\smileAC=\overset\smileCD=8 альфа . Тогда для рав­ных дуг по­лу­ча­ем:

D_1AD=D_1BD=3 альфа плюс 2 альфа плюс 8 альфа =13 альфа ,

от­ку­да на­хо­дим, что дуга AC_1D равна 10 альфа . Имеем: 26 альфа =360 гра­ду­сов рав­но­силь­но альфа = дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , тогда

\angle A= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BCD= дробь: чис­ли­тель: 900 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби ,\quad\quad\angle B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ADC= дробь: чис­ли­тель: 1620 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби ,\quad\quad\angle C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BAD= дробь: чис­ли­тель: 1440 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби ,\quad\quad\angle D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ABC= дробь: чис­ли­тель: 720 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 900 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1620 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1440 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 720 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 369
Методы геометрии: Сим­мет­рия в ре­ше­ни­ях, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025