Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 549116

К окружности с диаметром AB = 6 проведена касательная BC так, что BC=3 корень из 2. Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.

а)  Докажите, что BD в квадрате =CD умножить на BE.

б)  Найдите площадь треугольника FBE.

Спрятать решение

Решение.

а)  Заметим, что \angle BDA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , поскольку этот угол опирается на диаметр AB. Тогда BD — высота прямоугольного треугольника ABC. По свойству высоты получаем, что BD= корень из CD умножить на AD, тогда BD в квадрате =CD умножить на AD. Треугольники EOB и DOA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, EB = AD, откуда BD в квадрате =CD умножить на AD=CD умножить на BE.

б)  Выразим площадь треугольника FBE:

S_FBE=S_OBF плюс S_OBE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс S_AOD=
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD умножить на BD.

Вычислим длины отрезков:

BD= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 6 умножить на 3 корень из 2, знаменатель: корень из 36 плюс 18 конец дроби =2 корень из 3,

AD= корень из AB в квадрате минус BD в квадрате = корень из 36 минус 12=2 корень из 6,

CD=AC минус AD= корень из AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 2 корень из 6= корень из 54 минус 2 корень из 6= корень из 6.

Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой ODF:

 дробь: числитель: BO, знаменатель: OA конец дроби умножить на дробь: числитель: AD, знаменатель: DC конец дроби умножить на дробь: числитель: CF, знаменатель: FB конец дроби =1,

откуда BF=2CF. Таким образом, C  — середина BF и BF=6 корень из 2. Следовательно,

S_FBE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OB умножить на BF плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AD умножить на BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 6 корень из 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2 корень из 6 умножить на 2 корень из 3=12 корень из 2.

Ответ: б) 12 корень из 2.

 

Приведем решение пункта б) Данилы Карпова.

Вычислим длины отрезков:

BD= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 6 умножить на 3 корень из 2, знаменатель: корень из 36 плюс 18 конец дроби =2 корень из 3,

AD= корень из AB в квадрате минус BD в квадрате = корень из 36 минус 12=2 корень из 6,

CD=AC минус AD= корень из AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 2 корень из 6= корень из 54 минус 2 корень из 6= корень из 6.

Как доказано в пункте а), Треугольники EOB и DOA равны, тогда ∠BAD = ∠ ABE. Эти углы накрестлежащие, тогда AD || BE. Следовательно, треугольник FCD подобен FBE. Тогда

 дробь: числитель: EF, знаменатель: DF конец дроби = дробь: числитель: BE, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 корень из 6 конец дроби =2.

Следовательно, BD  — медиана треугольника FBE, она делит его на два треугольника равной площади, тогда

S_FBE=2 умножить на S_DBE= 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BE умножить на BD = 2 корень из 6 умножить на 2 корень из 3 = 12 корень из 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 549116: 548817 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 3