Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 627641
i

В тре­уголь­ни­ке ABC точка D лежит на сто­ро­не BC. В тре­уголь­ни­ки ABD и ACD впи­са­ны окруж­но­сти, и к ним про­ве­де­на общая внеш­няя ка­са­тель­ная (от­лич­ная от BC), пе­ре­се­ка­ю­щая AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка AK не за­ви­сит от по­ло­же­ния точки D на BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AK, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 30, а длина сто­ро­ны BC равна 10.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­стей с пря­мы­ми, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

KR=KX,\quad\quad KY=KS,\quad\quad XD=DP,\quad\quad DY=DQ,\quad\quad RS=PQ,

от­сю­да

PQ=XY плюс YD плюс DQ=XY плюс XK плюс KR=RS,

сле­до­ва­тель­но, KX  =  YD, KD  =  PQ. Тогда

AK=AD минус KD=AD минус PQ=AD минус левая круг­лая скоб­ка p_ABD минус AB пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка p_ADC минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка =

=AD плюс AB плюс AC минус дробь: чис­ли­тель: AB плюс AD плюс BD плюс AD плюс DC плюс AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =p_ABC минус BC,

где p  — по­лу­пе­ри­метр. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из п. а) по­лу­ча­ем:

AK=p_ABC минус BC=15 минус 10=5.

Ответ: б) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 386
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025