ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 504264 Добавить в вариант

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую  — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую  — в точке C.

а)  Докажите, что четырёхугольник ABCD   — параллелограмм.

б)  Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим ∠BAD = ∠PAB  =  α. Поскольку ABQP и CDPQ  — вписанные четырёхугольники,

$\angle BQP=180 градусов минус альфа ,$

$\angle CQP=180 градусов минус \angle BQP=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус альфа правая круглая скобка = альфа ,$

$\angle ADC=\angle PDC=180 градусов минус \angle PQC=180 градусов минус альфа .$

Значит, ∠BAD + ∠ADC  =  180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б)  Пусть R  — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 3R. По теореме синусов:

$BP=2 умножить на 3R синус \angle BQP=6R синус левая круглая скобка 180 градусов минус альфа правая круглая скобка =6R синус альфа ,$

$PC=2R синус \angle CQP=2R синус альфа .$

Следовательно,

$дробь: числитель: CP, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: 2R синус альфа , знаменатель: 6R синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: CP : PB  =  1 : 3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь