Поезд от­пра­вил­ся из Санкт-Пе­тер­бур­га в 23 часа 50 минут и при­был в Моск­ву в 7 часов 50 минут сле­ду­ю­щих суток. Сколь­ко часов поезд на­хо­дил­ся в пути?

На ри­сун­ке точ­ка­ми по­ка­за­на сред­няя тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко ме­ся­цев из дан­но­го пе­ри­о­да сред­няя тем­пе­ра­ту­ра была боль­ше 18 гра­ду­сов Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 25 би­ле­тов. Толь­ко в двух би­ле­тах встре­ча­ет­ся во­прос о гри­бах. На эк­за­ме­не школь­ни­ку достаётся один слу­чай­но вы­бран­ный билет из этого сбор­ни­ка. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этом би­ле­те будет во­прос о гри­бах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 3^{x − 5} = 81.

Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те угол BOC, если угол BAC равен 32°.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции y  =  f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны де­вять точек: x₁, x₂, ..., x₉. Среди этих точек най­ди­те все точки, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции y  =  f(x) от­ри­ца­тель­на. В от­ве­те ука­жи­те ко­ли­че­ство най­ден­ных точек.

В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Най­ди­те если и

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 749 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где м/с  — ско­рость звука в воде,   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 2 м/⁠с.

Вес­ной катер идёт про­тив те­че­ния реки в раза мед­лен­нее, чем по те­че­нию. Летом те­че­ние ста­но­вит­ся на 1 км/⁠ч мед­лен­нее. По­это­му летом катер идёт про­тив те­че­ния в раза мед­лен­нее, чем по те­че­нию. Най­ди­те ско­рость те­че­ния вес­ной (в км/ч).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AA₁ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой  — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 1 и 4.

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r , при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 1,2 млн руб­лей.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?