Две касательные к окружности, СА и СВ, пересекаются в точке С (А и В — точки касания). Вторая окружность проходит через точку С, касается прямой АB в точке В и пересекает первую окружность в точке М, отличной от В.
а) Докажите, что прямая АМ делит отрезок ВС пополам.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВСМ, если BC = 10, а синусы углов ВАМ и АВМ равны соответственно 0,6 и 
а) Пусть P — точка пересечения прямых BC и AM. По свойству угла между касательной и хордой 
Отсюда треугольники APB и BPM подобны, то есть 
следовательно, 
Аналогично треугольники APC и CPM подобны, откуда 
следовательно, 
Значит, BP = CP. Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) получаем:
Заметим, что треугольник CAB является равнобедренным, поэтому 
следовательно, углы MCB и MBC в сумме составляют острый угол, значит, каждый из них меньше 90°. Тогда
По теореме синусов
откуда 
Ответ: б) 