Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если 
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.
а) Заметим, что 
так как линия центров 
содержит биссектрисы равнобедренных треугольников 
и 
Тогда
и
Значит, треугольники CBD и 
подобны по двум углам.
б) Из равенства углов 
следует параллельность прямых: 
Учитывая, что получаем: 
Значит, 
а AE — диаметр окружности. По условию тогда
а потому равнобедренные треугольники и 
подобны. Значит, 
откуда 
Ответ: 9.
Приведем другое решение пункта б).
Пусть r — радиус первой окружности, тогда 3r — радиус второй. Треугольник ABC прямоугольный, в нем сторона AB = 3 по условию, сторона AC = 2r как диаметр окружности, 
В треугольнике DAO2 известны стороны: 
По теореме косинусов находим:
По условию значит, равны и косинусы этих углов, а потому 
откуда 
Здравствуйте, пункт б) можно решить непосредственно через теорему косинусов.
Добавили такое решение.