Из­вест­но, что АBCD тра­пе­ция, АD = 2BC, AD, BC  — ос­но­ва­ния. Точка M та­ко­ва, что углы АBM и MCD пря­мые.

а)  До­ка­зать, что MA  =  MD.

б)  Рас­сто­я­ние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Най­ди­те угол BAD.

В тра­пе­ции АBCD угол BAD пря­мой. Окруж­ность, по­стро­ен­ная на боль­шем ос­но­ва­нии АD как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет мень­шее ос­но­ва­ние BC в точке C и M.

а)  До­ка­жи­те, что угол BАM равен углу CАD.

б)  Диа­го­на­ли тра­пе­ции АBCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АOB, если АB  =  6, а BC  =  4BM.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой AD  =  3BC, CM  — вы­со­та тра­пе­ции.

а)  До­ка­зать, что M делит AD в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до се­ре­ди­ны BD, если AD  =  18, AC  =  

Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 8 и 15. Сумма ос­но­ва­ний равна 17.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 6 и 8. Сумма ос­но­ва­ний равна 10.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­ре­зок CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­зать, что CO = KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС, при­чем и точка M внут­ри тра­пе­ции, такая, что

а)  До­ка­жи­те, что АM  =  DM.

б)  Най­ди­те угол BAD, если угол CDA равен 50°, а вы­со­та, про­ведённая из точки M к АD, равна BC.

Две окруж­но­сти с цен­тром O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ние диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой же окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Найти AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  2.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, при­чем точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ние диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой же окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если угол DAE равен углу BAC, а ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB = 3.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ и ра­ди­у­са­ми 3 и 4 пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку A про­ве­де­на пря­мая MK, пе­ре­се­ка­ю­щая обе окруж­но­сти в точ­ках M и K, при­чем точка A на­хо­дит­ся между ними.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BMK и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой MK, если O₁O₂  =  5, MK  =  7.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, при­чем мень­шая окруж­ность про­хо­дит через через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что sinAOC = Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние QK:KA.

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 9, а её диа­го­на­ли равны 5 и 12.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K, так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­рез­ки CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции  ABCD.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­ре­зок CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­зать, что CO = KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ния диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  3.

Две окруж­но­сти с цен­тром O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ние диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой же окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Найти AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  2.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC = 12 и BC = 5.

Точки E и K  — со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­ны сто­рон CD и AD квад­ра­та ABCD. Пря­мая BE пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой CK в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг четырёхуголь­ни­ка ABOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те AO, если сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­ре­зок CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­зать, что CO = KO.

б)  Найти от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  8MB и DN  =  2CN.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  4BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  6MB и 2DN  =  3CN.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  3BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

В тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на окруж­ность с цен­тром O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если а ос­но­ва­ния равны 5 и 7.