Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 517516

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что  синус \angle AOC= дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: конец дроби 4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.

Спрятать решение

Решение.

а)  Угол AQP опирается на диаметр AP большей окружности, поэтому он прямой. Угол AMO опирается на диаметр AO меньшей окружности, поэтому он прямой. Таким образом, прямые PQ и BC перпендикулярны прямой AQ, значит, они параллельны.

б)  Углы AOC и APQ равны, поскольку прямые PQ и BC параллельны. Диаметр BC большей окружности перпендикулярен хорде AQ. Значит, точка C  — середина дуги AQ. Следовательно, луч PC является биссектрисой угла APQ прямоугольного треугольника APQ, поэтому

 дробь: числитель: QK, знаменатель: KA конец дроби = дробь: числитель: QP, знаменатель: PA конец дроби = косинус \angle APQ= косинус \angle AOC= корень из 1 минус синус в квадрате \angle AOC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: б) 1:4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 517516: 517533 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).