Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 501887

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны,  дробь, числитель — AD, знаменатель — BC = дробь, числитель — DK, знаменатель — KB =4. Пусть S_{BKC}=S, тогда S_{AKD}=16S.

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,  дробь, числитель — S_{AKD}, знаменатель — S_{AKB }= дробь, числитель — DK, знаменатель — KB = дробь, числитель — AD, знаменатель — BC , то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O_1H = O_1A – AH = O_1A – O_2B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

O_2H= корень из { O_1O_2 в степени 2 минус O_1H в степени 2 }=4.

Тогда

S_{ABCD}= дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 умножить на AB=20.

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

 

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что O_2H=AB=4. Из подобия треугольников AKD и AKB следует  дробь, числитель — AK, знаменатель — BK = дробь, числитель — AD, знаменатель — BA = 2, таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB

AK в степени 2 плюс BK в степени 2 = AB в степени 2 = 16 равносильно 4BK в степени 2 плюс BK в степени 2 =16 равносильно BK = дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 5 }\), AK = дробь, числитель — 8, знаменатель — корень из { 5 }.

Теперь несложно вычислить S_{AKB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AK умножить на BK= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 8, знаменатель — корень из { 5 } умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 5 }=3,2.

 

Ответ: 3,2.


Аналоги к заданию № 501887: 503149 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника