В полуокружности с диаметром MN расположены две окружности с центрами O1 и O2, касающиеся друг друга, полуокружности и прямой MN (при этом точки касания c полуокружностью — это соответственно A и B).
а) Докажите, что прямые O1A, O2B и MN пересекаются в одной точке.
б) Радиусы окружностей равны 2 и 5. Найдите радиус полуокружности.
а) Заметим, что точка касания двух окружностей лежит на их линии центров. Пусть O — середина диаметра MN, тогда A лежит на прямой OO1, точка B лежит на OO2. Значит, прямые AO1, BO2 и MN пересекаются в одной точке (точке O). Что и требовалось доказать.
б) Пусть С и D — точки касания соответственно первой и второй окружностей с прямой MN. Тогда из прямоугольной трапеции СO1O2D получаем:
Обозначим искомый радиус R, тогда из треугольника O1CO получаем
Аналогично
Точки касания могут лежать по одну сторону от центра большей окружности или по разные стороны. В каждом из этих случаев 
то есть 
откуда
Ответ: б) 