Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Таким образом,
в треугольнике AKB медиана равна половине стороны, к которой она проведена, значит, он прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) В прямоугольной трапеции ABO2O1 построим высоту O2H и найдём ее из прямоугольного треугольника O2HO1:
Тогда 
Из прямоугольного треугольника BAD получаем: 
Треугольники BKC и AKD подобны, 
поэтому 
а 
Из прямоугольного треугольника СКВ находим 
тогда 
Из прямоугольного треугольника СКD находим 
По теореме синусов для треугольника BСD находим искомый радиус описанной окружности:
Ответ: 