К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AM : MB  =  1 : 3?

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Одна из них ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон и боль­ше­го ос­но­ва­ния AD, вто­рая  — бо­ко­вых сто­рон, мень­ше­го ос­но­ва­ния BC и пер­вой окруж­но­сти.

а)  Пря­мая, про­хо­дя­щая через цен­тры окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке P. До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 3 и 1.

Диа­го­на­ли AC и BD четырёхуголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, пе­ре­се­ка­ет­ся в точке P, причём BC  =  CD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что BD  — диа­метр опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка ABCD окруж­но­сти, AB  =  6, а

Точка M лежит на сто­ро­не BC вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD, причём B и C  — вер­ши­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с ос­но­ва­ни­я­ми AM и DM со­от­вет­ствен­но, а пря­мые AM и MD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при вер­ши­нах B и C четырёхуголь­ни­ка ABCD, пе­ре­се­ка­ют­ся на сто­ро­не AD.

б)  Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния этих бис­сек­трис. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что BM : MC  =  3 : 4, а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го лежат на пря­мых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. На сто­ро­не AB как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность с цен­тром в точке O, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны CD и по­втор­но пе­ре­се­ка­ю­щая ос­но­ва­ние AD в точке H. Точка Q  — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD.

а)  До­ка­жи­те, что OQDH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те AD, если ∠BAD  =  60°, BC  =  2.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  12.